Отношение

Чему равно отношение площадей маленького и большого треугольников?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1/4.
Достаточно перевернуть маленький треугольник и ответ становится очевидным.

И ещё - какая площадь больше?

Какая группа больше?

Распределим все целые числа от 0 до 123456 в две группы. В первую группу будут попадать числа, сумма цифр которых чётная. Во вторую же группу будем добавлять числа с нечётной суммой цифр. В какой группе чисел будет больше?
update: первым правильно ответил Влад.

Ответ

Во второй.

Немного статистики.
Как из цифр составить простое число?

Простое

Как, используя каждую цифру от 1 до 9 только один раз, составить девятизначное число, которое было бы простым?

update

Первый - Илья.
Ответ

Простого числа в результате перестановок не получится, так как сумма всех цифр равна 45, а значит составленное из них число будет делиться на 3 и 9.

И ещё две задачи с девятью цифрами:

Выражение равно 1.

Дробь равна 1/3.

Бочка с вином

Бочка ёмкостью 16 литров полностью наполнена вином. Хозяин решил перед употреблением разбавлять вино с водой и делать это следующим образом. В первый заход взять один литр вина, а освободившееся место заполнить водой. Затем взять два литра и опять заполнить бочку водой. В третий раз взять три литра и снова заполнить бочку до краев водой. И так далее до тех пор, пока бочка не опустеет. Сколько литров воды будет в итоге выпито?

update

Быстрее всех был Дмитрий.
Ответ

Бочка будет доливаться 15 раз, следовательно, 1+2+...+14+15=120 литров.

Головоломка рабочего

На рисунке изображена схема сада. Меньшая из концентрических окружностей представляет собой клумбу. Остальную часть рабочему нужно выложить брусчаткой и для этого он должен вычислить её площадь. Так как на клумбу заходить нельзя, то рабочий не может измерить радиусы окружностей. Подумав, он пришёл к выводу, что измерения отрезка, показанного на рисунке, будет достаточно для определения площади. Длина отрезка оказалась равной 20 м. Чему равна искомая площадь?

update

Быстрее всех был Илья.
Ответ

100π кв.м.
Обозначим радиус меньшей окружности через X, большей - через Y. Искомая площадь будет равна π(Y^2-X^2). Проведем радиусы окружностей как показано на рисунке. По теореме Пифагора выражение в скобках будет равно квадрату половины длины измеренного отрезка, то есть 100. Следовательно, искомая площадь равна 100π кв.м.

Чему равно расстояние между столбами?

Износ шин

Автомобиль проехал 20000 км. Во время этого пробега было использовано пять шин и все они в итоге износились. Степень износа шин оказалась одинаковой. На какое расстояние хватает одной шины?

update

Быстрее всех был Gennady.
Ответ

16000 км.

Как разъехаться бензовозам по пунктам?

Игра навылет

В футбольном турнире участвуют 25 команд. После каждой игры проигравшая команда покидает турнир, победившая проходит дальше. Ничьих не бывает. Сколько потребуется игр для того, чтобы определить победителя?

update

Первый правильный ответ - 67108864.
Ответ

Быстрее всего вычислить количество игр можно по количеству проигравших команд. Так как 24 команды в итоге должно проиграть, то и игр потребуется 24.

Конверты и вероятность.

Бензовозы

Бензовозы стоят на автобазе и готовятся разъехаться в три пункта назначения. Всего 21 машина. При этом семь из них полностью заполнены бензином, другие семь заполнены наполовину и ещё у семи емкость пустая. В пунктах назначения должно оказаться одно и тоже число машин и одинаковое количество бензина. Как разъехаться машинам по пунктам, чтобы выполнить это условие?

update

Быстрее всех был Дмитрий.
Ответ

Два решения.

В 1-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
Во 2-й пункт: 2 полных, 3 половины и 2 пустых.
В 3-й пункт: 2 полных, 3 половины и 2 пустых.

или

В 1-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
Во 2-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
В 3-й пункт: 1 полный, 5 половин и 1 пустой.

Из разного - как за 6 ходов поменять вагоны местами?

Площадь пересечения

Чему равна площадь пересечения двух одинаковых квадратов на рисунке, если длина стороны каждого равна 2, а точка О является центром одного из них?

update

Быстрее всех был Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Площадь пересечения равна четверти площади квадрата, то есть 1 кв.ед. Это видно из следующего рисунка.

Чему равна площадь шестиугольника?

Волны

На картинке изображена прибрежная часть какого-то водоёма. Как определить с какой стороны находится берег? Волны в своей жизни конечно же видели все, поэтому ответ нужно объяснить с точки зрения физики, а не опыта.

update

Первым правильно ответил Alexey Izvalov.
Ответ

Берег справа. Нижние слои воды начинают тормозить о дно, а верхние продолжают набегать с прежней скоростью и образуют гребень.

Ещё немного физики - чёрт и шампанское.

В порядке возрастания веса

Три кубика, изображённые на картинке, изготовлены из одного материала и имеют одинаковые размеры. Все отверстия в них сделаны одним и тем же сверлом, перпендикулярны граням и проходят насквозь. Расположите эти кубики в порядке возрастания их веса.

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1, 3, 2.
Чем больше пересечений отверстий внутри детали, тем она тяжелее.

Ещё две головоломки с кубиками:
Найдите площадь поверхности.
Какое минимальное количество кубиков потребуется?

Угол

Чему равен угол ABC, если A, B и C - середины рёбер куба?

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

120.
Треугольник BCE равносторонний, поэтому угол CBE равен 60 градусам. Следовательно, искомый угол ABC, как сопряженный, равен 120 градусам.

И ещё две задачи на скорость:
Угол между диагоналями куба.
Длина гипотенузы.

Причуды календаря

Позавчера Дмитрию было 9 лет, а в следующем году ему исполнится 12. Как такое оказалось возможным?

update

Быстрее всех был Gennady.
Ответ

День рождения у Дмитрия 31 декабря. Если сегодня 1 января, то позавчера (30 декабря) Дмитрию было 9 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 10, в этом году 31 декабря исполнится 11, а в следующем году 31 декабря исполнится 12.

Другие задачи про возраст:
Возраст и количество детей.
Сколько лет?

1/3

Как переложить одну спичку, чтобы получить 1/3?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

Как получить верное равенство?

3+2=8

На столе лежат три спички. Как к ним прибавить ещё две и при этом получить восемь?

update

Быстрее всех был Waleriy.
Ответ

Про вишенку в бокале.

Прогулка

Перед походом в лес грибник взглянул на часы и запомнил, что в тот момент было где-то между 9 и 10 часами утра, а стрелки часов были совмещены. Когда он вернулся домой, то опять взглянул на часы, на которых было между 3 и 4 часами дня. Интересно, что в тот момент стрелки часов были направлены прямо в противоположные стороны. Как долго грибник был в лесу?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

Ровно 6 часов.
Допустим, часы показывают между 9 и 10 часами и стрелки совмещены. Теперь мысленно перевернём часовую стрелку в противоположную сторону. Это будет равносильно тому, что пройдёт 6 часов. При этом часы будут показывать между 3 и 4 часами, а стрелки будут направлены прямо в противоположные стороны.

Как долго горели свечи?

На отлично

В ходе проверки успеваемости учеников школы выяснилось следующее:

69% на "отлично" знают физику;

74% на "отлично" знают литературу;

81% на "отлично" знают математику;

88% на "отлично" знают историю;

О каком проценте учеников заведомо можно сказать, что они на "отлично" знают все четыре предмета?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

12%.
Предположим, в школе всего 100 учеников. На этих учеников нужно распределить 69+74+81+88=312 оценок. При равномерном распределении на каждого ученика придётся по 3 оценки и ещё 12 оценок окажутся "лишними". Следовательно, как минимум 12 учеников являются отличниками по всем четырём предметам.

Про средний балл.

Трап

С борта корабля спущен стальной трап. Нижние пять ступенек его оказались под водой. Толщина каждой ступеньки 5 см, расстояние между двумя ступеньками 25 см. Начался прилив и уровень воды стал подниматься со скоростью 30 см в час. Сколько всего ступенек окажется в воде через три часа?

update

Быстрее всех был Agrom.
Ответ

5 ступеней.

Ещё две задачи:
Про озеро.
Про подсчёт листов.

Письма

Профессор математики напечатал письма четырем коллегам и надписал четыре конверта. Если он будет вкладывать письма в конверты случайным образом, какова вероятность того, что именно три письма попадут в правильные конверты?

update

Первый Евгений Бикмаев.
Ответ

0.
Если три письма попадут в правильные конверты, то и четвёртое обязательно попадёт в правильный конверт.

Ещё две задачи:
Про шансы выиграть спор.
Про положительный тест.

Вес сома

Шнурок перекинут через блок, подвешенный к пружинным весам. К одному концу шнурка привязан сом, а второй прикреплен к полу. Блок и веревку считаем невесомыми. Весы показывают 15 кг. Сколько весит сом?

update

Первым правильно ответил R.
Ответ

7,5 кг.
Пружина весов растягивается под действием веса рыбы и равной ему силы натяжения веревки по другую сторону блока. Следовательно, сом весит 7,5 кг, если считать блок и веревку невесомыми.

Похожее - в каком из трех случаев безмен покажет самое большое значение?