Одно взвешивание

Вариация на тему про фальшивые монеты и одно взвешивание. Имеется шесть мешочков с монетами и в каждом из них достаточно большое число монет. При этом все монеты в каждом мешочке либо фальшивые, либо настоящие. Вес настоящей монеты известен (допустим, 5 грамм). Также известно, что фальшивая монета весит на один грамм меньше настоящей. Точное количество мешочков с фальшивыми монетами неизвестно - их может быть несколько. Как за одно взвешивание на точных весах, показывающих вес, определить все мешочки с фальшивыми монетами?

update

Первый - Илья.
Ответ

Нужно взять 1 монету из первого мешочка, 2 из второго, 4 из третьего, 8 из четвёртого, 16 из пятого и 32 из шестого. Если бы все выбранные монеты (63 штуки) были настоящие, то их суммарный вес был бы равен 315 грамм. Разница между полученным при взвешивании значением и 315 будет однозначно определять набор мешочков с фальшивыми монетами. Например, вес 336 грамм может быть получен в единственном случае - если фальшивые монеты находятся в первом, третьем и пятом мешочках (336-315=21=1+4+16).

7 настоящих монет

С помощью чашечных весов без гирь требуется найти 7 настоящих монет в куче из 63 монет. При этом известно, что там присутствует всего 7 фальшивых монет. Все настоящие монеты весят одинаково. Также одинаково между собой весят и все фальшивые. Однако, вес фальшивой меньше веса настоящей. Как найти нужные монеты всего за три взвешивания?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

1. Положим на чаши весов по 31 монете. Если весы в равновесии, то отложена фальшивая и на каждой чаше по 3 фальшивых монеты. Если одна из чаш тяжелее, то на ней не более трёх фальшивых монет. То есть, после первого взвешивания мы определили 31 монету, среди которых не более трёх фальшивых.
2. Полученные после первого взвешивания монеты разделим на две кучки по 15 монет и положим их на две чаши весов, а оставшуюся монету отложим. В результате второго взвешивания можно определить 15 монет среди которых будет не более одной фальшивой.
3. Полученные после второго взвешивания монеты разделим на две кучки по 7 монет, которые будем сравнивать на весах, а оставшуюся монету опять откладываем. Если весы в равновесии, то на обоих чашах по 7 настоящих монет. Если весы не в равновесии, то настоящие монеты будут на чаше, которая окажется тяжелее.

Из этой же серии - про 12 монет и одну фальшивую.

12 монет

Из 12 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Она отличается по весу, но неизвестно в какую сторону. То есть может быть как легче, так и тяжелее остальных. Как с помощью трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

update

Первый - Dendr. Ответ в комментариях.


Из этой же серии - одна настоящая монета.

1 из 9

Хорошая головоломка на выходные. Из девяти одинаковых с виду монет только одна настоящая. Из оставшихся восьми монет четыре весят одинаково между собой, но при этом они легче настоящей. Последние четыре монеты также весят одинаково между собой, но все они тяжелее настоящей. Как с помощью чашечных весов без гирь определить настоящую монету за шесть взвешиваний?

update

Ответ

Подробное решение по ссылке.

Из той же серии.

Набор

Требуется обеспечить возможность взвешивания любого груза массой от 1 до 40 грамм включительно с шагом 1 грамм на чашечных весах. Как думаете, набор из какого минимального количества гирек для этого потребуется и какие веса, выраженные в целых числах, должны быть у этих гирек?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

1, 3, 9 и 27 грамм. Так как гири можно класть на обе чаши весов, то этого набора будет достаточно для того, чтобы взвесить любой груз массой от 1 до 40 грамм.

Предыдущая головоломка по теме - про неточные весы.

Фальшивая монета и неточные весы

Среди девяти одинаковых на вид монет есть одна фальшивая - она легче остальных. Также в нашем распоряжении есть чашечные весы в количестве двух штук. На первых весах определить фальшивую монету не получится, так как их точность не позволяет определить разницу в весе. Другие весы точнее и разница в весе на них будет заметна. Нам неизвестно где какие весы. Как с помощью всего трёх взвешиваний определить фальшивую монету?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

Пронумеруем монеты от 1 до 9. Кладём на первые весы по четыре монеты на каждую чашу: (1,2,3,4) и (5,6,7,8). Если одна группа монет перевесила, то мы нашли точные весы и далее за два взвешивания легко находим фальшивую монету из четырёх. Пусть весы оказались в равновесии. Тогда на вторых весах взвешиваем (1,2,3) и (5,6,7). Худший вариант - весы опять в равновесии. Тогда на вторых весах сравниваем монеты 4 и 8. В случае равновесия фальшивой будет монета 9.

Фальшивая монета и монета с царапиной.

Монета с царапиной

Имеется 15 одинаковых с виду монет. Одна из них отличается по весу от остальных 14. Тяжелее она или легче - неизвестно. При этом одну из 14 монет с нормальным весом можно легко опознать, так как на ней есть царапина. Как найти монету, которая отличается по весу от остальных, не более чем за три взвешивания на чашечных весах без гирь.

update

Первый - Илья.
Ответ

Важно, что монету отличную по весу нужно просто найти, определять её относительный вес не требуется. В схеме взвешиваний, показанной на рисунке, невозможно указать вес монеты с номером 15. Монета с царапиной идёт под номером 10.

Ещё одна головоломка с настоящими и фальшивыми монетами.

2 кг и 7 кг

Мешок сахарного песка массой 9 кг нужно пересыпать в два мешка: в один - 2 кг, в другой - 7 кг. Имеются чашечные весы с гирями в 50 и 200 г. Как это сделать при помощи только трёх взвешиваний?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Первым взвешиванием сахарный песок делится на две равные части по 4,5 кг, гири при этом не требуются. Вторым взвешиванием 4,5 кг делится также на две равные части по 2,25 кг. При третьем взвешивании на одну чашу весов кладём обе гири общей массой 0,25 кг, а на другую часу весов отсыпаем сахар из кучи в 2,25 кг. В итоге получаем в одном из мешков 2 кг сахара. Остальной сахар высыпаем в один мешок, там будет 7 кг.

Давно не было головоломок со взвешиванием:
Про неправильные надписи.
Про 8 шаров.

Распределение по весам

Имеется пять монет двух разных весов, но внешне совершенно одинаковых. Число монет, отличных по весу от остальных, неизвестно. Можно ли определить какие из монет более легкие, а какие более тяжелые, с помощью всего лишь трех взвешиваний? Если можно, то как? Если нельзя, то почему?

Ещё головоломки на определение фальшивых монет:

1 из 9

4 из 9
3 из 8

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

Пять монет обеспечивают 30 различных возможных распределений тяжелые-легкие. При этом три взвешивания позволяют выбрать одну из 27 возможностей. Следовательно, с помощью всего лишь трех взвешиваний отыскать нужно распределение тяжелые-легкие для пяти монет невозможно.

8 шаров

Классическая головоломка со взвешиванием. Может быть кто-то не знает. У вас есть восемь бильярдных шаров, внешне совершенно одинаковых. Один из них легче остальных. Как можно за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить "неправильный" шар?

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ

Взвешивание №1: 1+2+3<>4+5+6:
а) Если 1+2+3<4+5+6, то
Взвешивание №2: 1<>2. Если 1<2, то неправильный - 1. Если 1>2, то неправильный - 2. Если 1=2, то неправильный - 3.
б) Если 1+2+3>4+5+6, то
Взвешивание №2: 4<>5. Если 4<5, то неправильный - 4. Если 4>5, то неправильный - 5. Если 4=5, то неправильный - 6.
в) Если 1+2+3=4+5+6, то
Взвешивание №2: 7<>8. Если 7<8, то неправильный - 7. Если 7>8, то неправильный - 8.

Задача с 6 шарами.
Неправильные надписи.

1-3-5

Имеется 1 золотая, 3 серебряных и 5 бронзовых монет. Известно, что одна из них фальшивая - она легче настоящей. Настоящие монеты из одного металла весят одинаково, из разных металлов - по-разному. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

update

Быстрее всех был birkin.
Ответ

Кладем на каждую чашку весов по 1 серебряной и 2 бронзовые монеты. Если их массы равны, значит фальшивая - или оставшаяся серебряная, или бронзовая, или золотая. Заменяем слева одну серебряную оставшейся серебряной, а справа одну бронзовую оставшейся бронзовой и запоминаем её. Если где-то стало легче - то та и фальшивая, если же опять равны - фальшивая золотая.

Если же при первом взвешивании одна часть, например левая, легче - значит фальшивая лежащая там серебряная, или одна из 2-х бронзовых. Вторым шагом здесь сравниваем лежащие слева бронзовые и либо находим из них фальшивую, либо (если их массы оказались равны) фальшивая левая серебряная.

Неправильные надписи

Имеется шесть гирь, массы которых 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г. На каждой гире надписана ее масса, но надписи возможно перепутаны. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно)?

update

В напряженной борьбе победил Yurko.
Ответ

Первое взвешивание: 1+2+3=6. Гиря под номером 6 должна быть самой тяжелой. Гири с надписями 1, 2 и 3 вместе тоже должны весить 6 г, в противном случае их общий вес будет больше. Если весы в равновесии, значит на гире 6 надпись нанесена правильная. Надписи на гирях 1, 2 и 3 могут быть перепутаны, но только между собой, а не с гирями 4 и 5. Если весы не уравновешены, то сейчас на весах есть гири 4 г и/или 5 г, и неправильность нанесения надписей уже определена.
Второе взвешивание. Теперь у нас есть "эталон" - гиря весом 6 г. Кроме того, надписи могут быть перепутаны только внутри наборов гирь 1, 2, 3 и 4, 5. Тогда на весах можно сравнить по гире с каждого набора с эталонной. Например, на одну чашу положить гири из наборов с максимальным весом 5+3=8, а на другую - эталон и гирю с минимальным весом 1. Тогда во втором взвешивании получим 5+3>6+1. Причем чаша с гирями 5+3 перевесит только в том случае если надписи на гирях 5 и 3 правильные. Тогда можно сделать вывод, что надписи остальных гирях тоже правильные. В противном случае получим равновесие (перепутаны 1 и 2), или перевесит чаша 6+1 (уменшьшится вес 5+3 и увеличится 6+1).

21 г

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?
Как найти 4 фальшивые монеты?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ
Подробный ответ в комментариях.

4 из 9

Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре - фальшивые. Известно, что ни одна из фальшивых монет не лежит рядом с другой фальшивой монетой. Также известно, что все настоящие монеты весят одинаково и все фальшивые монеты весят одинаково, но фальшивая монета тяжелее настоящей. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты.

update

Первым правильно ответил knop.
Ответ

Так как монет 9 и никакие две фальшивые не лежат рядом, то какие-то две настоящие монеты лежат рядом, а остальные чередуются. Поэтому достаточно найти эти две настоящие монеты и расположение остальных монет определится однозначно. Пронумеруем монеты по часовой стрелке от 1 до 9 начиная с произвольной монеты.

Один из вариантов взвешиваний:

Первое взвешивание: монеты 1 и 4.

а) Монеты 1 и 4 весят одинаково. Второе взвешивание: монеты 2 и 3. Если 2 и 3 весят одинаково, то они настоящие. Если одна из монет тяжелее другой, например, монета 2, тогда две настоящие рядом будут 3 и 4. Аналогично, если 3 тяжелее 2.

б) Монета 4 тяжелее 1. Тогда монеты 5, 3 и 1 - настоящие, а монета 2 - фальшивая. Второе взвешивание: монеты 9 и 6. Если 9 и 6 весят одинаково, то 7 и 8 - рядом лежащие настоящие монеты. Если 9 тяжелее 6, то 5 и 6 лежат рядом и обе настоящие. Если 6 тяжелее 9, то 1 и 9 - искомые настоящие монеты.

в) Монета 1 тяжелее 4. Всё аналогично пункту (б).

Похожие головоломки:
3 из 8.
Звезда из монет.

Звезда из монет

Десять одинаковых по внешнему виду монет расположены в узлах пятиконечной звезды. Соседними будем называть монеты, которые соединены отрезком. Известно, что две соседние монеты являются фальшивыми. Также известно, что все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты весят одинаково и вес фальшивой монеты больше веса настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить местоположение фальшивых монет?

10 монет

В ряд выложили десять одинаковых по внешнему виду монет. Известно, что среди них есть фальшивые. Фальшивая монета весит 7 граммов, а настоящая - 8 граммов. Также известно, что каждая настоящая монета лежит правее каждой фальшивой. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отделить фальшивые монеты от настоящих?

update

Первым правильный вариант предложил knop.
Ответ

Первое взвешивание: на левой чаше монеты №1 и №10; на правой чаше монеты №4 и №7.
Второе взвешивание: на левой чаше монеты №1, №5, №6 и №10; на правой чаше монеты №2, №3, №8 и №9.
Каждому из девяти возможных расположений фальшивых и настоящих монет будет соответствовать один из девяти возможных результатов двух взвешиваний.

3 из 8

8 одинаковых по внешнему виду монет расположены по кругу. Известно, что 3 из них фальшивые (более тяжелые по весу), причем эти монеты лежат рядом друг с другом (подряд). Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже. Как определить все три фальшивые монеты, произведя лишь два взвешивания на чашечных весах без гирь?

Еще одна задача с фальшивыми монетами.

24 монеты

Среди 24 монет имеются две фальшивые: одна из них тяжелее, а другая легче настоящей монеты. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, равен ли общий вес двух фальшивых монет весу двух настоящих?
Головоломка со взвешиванием от барона Мюнхгаузена.

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Делим монеты на 4 группы по 6 монет.
Взвешиваем 1 со 2, а 3 с 4 группой.
Варианты:
а) 1=2, 3=4
Фальшивые монеты находятся в одной из групп и их общий вес фальшивых равен двум настоящим.
б) 1>2, 3=4
В 1 тяжелая, во 2 легкая. Взвешиваем 1+2 и 3+4. Если равны, то общий вес фальшивых равен двум настоящим.
(аналогично 1<2, 3=4; 1=2, 3<4; 1=2 3>4)
в) 1>2, 3>4
Либо в 1 тяжелая, в 4 легкая, либо во 2 легкая, в 3 тяжелая. В любом случае взвешиваем 1+4 и 2+3. Если равны, то общий вес фальшивых равен двум настоящим.
(аналогично 1>2, 3<4; 1<2, 3>4; 1<2, 3<4)

Масса одной гирьки

Олимпиадная задача по математике для 8 класса.
Даны 8 гирек массой 1, 2,..., 8 граммов, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон Мюнхгаузен утверждает, что помнит, какая из гирек сколько весит, и в доказательство своей правоты готов провести одно взвешивание, в результате которого будет однозначно установлена масса хотя бы одной из гирь. Не обманывает ли он?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Мюнхгаузен никогда не обманывает.
Масса пяти гирек не может быть меньше 15, так как 1+2+3+4+5=15. Вместе с тем масса двух гирек не может быть больше 15, так как 7+8=15. Следовательно, если уравновесить весы этими гирьками, то останется одна гирька массой 6 г.

Еще одна задача про барона Мюнхгаузена.

19 ящиков

На складе имеется 19 ящиков, массы которых вместе с грузом внутри них составляют 10 кг, 20 кг, 30 кг, ..., 190 кг. Известно, что в 9 ящиках находится товар первого сорта. Еще в 9 ящиках находится товар второго сорта. И только в одном ящике находится товар третьего сорта. Этот единственный ящик нужно срочно найти. Но заведующий складом что-то перепутал и не может разобраться где он. Единственное, что он запомнил - общая масса ящиков с товаром первого сорта отличается от общей массы ящиков с товаром второго сорта на 900 кг. Дополнительная проблема заключается в том, что ящики нельзя открывать - они запечатаны. Но зато значения масс напечатаны на каждом из них. И если определить массу нужного ящика, то его легко найти. Помогите найти ящик с товаром третьего сорта.

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
Это ящик с надписью 100 кг.
900 - максимально возможная разность между двумя группами по 9 ящиков (масса девяти самых тяжелых минус масса девяти самых легких). Поэтому единственным вариантом будет ящик с надписью 100 кг.