3 из 9 из 20

Попробуйте доказать, что из девяти произвольно выбранных вершин правильного 20-угольника по крайней мере три обязательно будут являться вершинами равнобедренного треугольника.

update

Первый - Илья.
Ответ

Обозначим вершины A, B, C, D, A, B, C, D и так далее. В этом случае каждая метка будет определять правильный пятиугольник. Из девяти выбранных нами вершин, по крайней мере, три будут иметь одинаковую метку. Теперь рассмотрим три любых вершины правильного пятиугольника. Отметим, что расстояние между вершинами правильного пятиугольника может иметь только два разных значения. Таким образом, между тремя вершинами такого пятиугольника два расстояния обязательно будут равны. Что и требовалось доказать.

Игра в 2000-угольник.

Отношение

Чему равно отношение площадей маленького и большого треугольников?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1/4.
Достаточно перевернуть маленький треугольник и ответ становится очевидным.

И ещё - какая площадь больше?

Три цвета

Продолжение темы разноцветных точек на плоскости. Задача посложнее. На этот раз дана плоскость, каждая точка которой может быть зелёной, красной или синей. Требуется доказать, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно 1 см.

update

Первый - Илья.
Ответ

Доказательство от противного. Допустим, что таких точек нет. Рассмотрим вершины правильно треугольника ABC со стороной 1 см. Исходя из нашего предположения они должны быть разных цветов. Далее на стороне BC построим ещё один правильный треугольник и получим вершину D. Полученная точка D должна быть одного цвета с A, иначе наше начальное предположение неверно и две точки на расстоянии 1 см были бы найдены (B и D или C и D). Аналогичные рассуждения можно провести для всего множества правильных треугольников с одной из вершин в точке A. Полученное при этом множество точек аналогичных D будет лежать на окружности и иметь цвет одинаковый с А. Но на этой окружности всегда можно найти две точки, расстояние между которыми равно 1 см. То есть наше изначальное предположение неверно и искомые точки существуют.

Длина верёвки

Центры трёх цилиндров образуют треугольник со сторонами 6, 9 и 13 см как показано на рисунке. Диаметр каждого из цилиндров равен 2 см. Вокруг этой конструкции натянута верёвка. Чему равна длина верёвки?

update

Ответ

28+2π.
Периметр верёвки делится на прямые и криволинейные участки. Очевидно, что длина прямолинейных участков равна сумме длин сторон треугольника 6+9+13=28. Длина же криволинейных участков равна длине окружности одного цилиндра, то есть 2π.

Чему равно расстояние между столбами?

Головоломка рабочего

На рисунке изображена схема сада. Меньшая из концентрических окружностей представляет собой клумбу. Остальную часть рабочему нужно выложить брусчаткой и для этого он должен вычислить её площадь. Так как на клумбу заходить нельзя, то рабочий не может измерить радиусы окружностей. Подумав, он пришёл к выводу, что измерения отрезка, показанного на рисунке, будет достаточно для определения площади. Длина отрезка оказалась равной 20 м. Чему равна искомая площадь?

update

Быстрее всех был Илья.
Ответ

100π кв.м.
Обозначим радиус меньшей окружности через X, большей - через Y. Искомая площадь будет равна π(Y^2-X^2). Проведем радиусы окружностей как показано на рисунке. По теореме Пифагора выражение в скобках будет равно квадрату половины длины измеренного отрезка, то есть 100. Следовательно, искомая площадь равна 100π кв.м.

Чему равно расстояние между столбами?

3 см

В наличии имеется листок бумаги размером 11 см на 8,5 см. При помощи этого листа и без использования дополнительных инструментов нужно отмерить ровно 3 см. Как это можно сделать?

update

Первый - homonemo.
Ответ

Траектория кошки.

Диаметр

Окружности и квадраты вписаны друг в друга как показано на рисунке. Чему равен диаметр меньшей из окружностей, если известно, что диаметр большей равен 10? Есть хорошее наглядное решение, попробуйте найти.

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Диаметр меньшей окружности равен 5.
Если повернуть меньший квадрат на 45 градусов, то становится очевидно, что его сторона равна радиусу большей окружности, то есть 5. Вместе с этим длина его стороны равна диаметру меньшей окружности. Таким образом искомый диаметр тоже равен 5.

Пять точек

Дан правильный треугольник с длиной стороны 6 см. Внутри этого треугольника (включая границы) произвольно выбрали пять точек. Если рассматривать две самые близкие друг к другу точки, то какое максимальное расстояние может быть между ними?

update

Первым доказал Илья.
Ответ

Разделим исходный треугольник на четыре равных правильных треугольника со стороной 3 см как показано на рисунке. Так как маленьких треугольника четыре, а точек пять, то в одном из них будет две точки. Максимальное расстояние между этими точками будет равно 3 см.

Докажите, что найдутся две точки...

Евклидова геометрия

По наводке участника нашего клуба Ильи Громова вчера весь вечер вспоминал школьный курс геометрии и чертил: http://euclidthegame.org/. Увлекательное занятие должен сказать. Каждая следующая задача открывается после решения предыдущей. В начале доступны циркуль и линейка. Затем появляются новые возможности. Например, после построения перпендикуляра к прямой открывается новая функция, которая позволяет в следующем задании его провести сразу, без дополнительных построений. Я пока остановился на 20-м уровне - почему-то не принимается решение, хотя вроде бы всё сделал правильно. И если хотите решать сами, то не заглядывайте в комментарии, там есть ответы. В общем, пробуйте и делитесь достижениями.

Если вы хотите поделиться со всеми ссылкой на какую-нибудь игру или у вас просто есть в запасе интересная головоломка, то пишите мне на почту:

Будем решать вместе.

Почему зеркало меняет местами лево и право, а верх и низ — нет?

А вы об этом когда-нибудь задумывались?

Какая площадь больше?

Проведенные на рисунке диагонали двух внутренних прямоугольников параллельны друг другу. Какая из закрашенных площадей больше: чёрная или оранжевая?

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Площади равны.
Один из вариантов решения показан на рисунке. Так как диагонали параллельны, то при их зеркальном отражении они образуют диагональ большого прямоугольника. Площади 1=1', 2=2', а сумма 1+2+3 равна сумме 1'+2'+3'. Следовательно, площадь 3 равна площади 3'.

Ещё одна задача из этой серии.

Путь шара

Бильярдный стол имеет размеры 10 на 5. На этом столе в одиночестве лежит шар. Игрок бьёт по шару так, что тот, отразившись от четырёх бортов, возвращается в исходную точку. Чему будет равна длина пути, пройденная шаром?

update

Первым правильно ответил Andrew Antonets.
Ответ

Длина пути равна двум диагоналям или ~22,4.
Путь шара можно изобразить в виде отрезка (сплошная линия), если сделать развертку показанную на рисунке. А с помощью построенного там же параллелограмма можно убедиться, что эта длина будет равна длине двух диагоналей стола.

Продолжение темы бильярда.

Траектория

К дереву вертикально приставлена лестница, в центре которой на ступеньке сидит кошка. Нижний край лестницы начинает скользить по земле до тех пор, пока лестница не примет горизонтальное положение. При этом кошка всё время остаётся сидеть на ступеньке. По какой траектории будет двигаться кошка?

update

Первый - Илья.
Ответ

В каких точках на столе может находиться муха?

Муха, мёд и уксус

Точкой А на поверхности стола обозначена капелька уксуса, точкой В - капелька мёда. По столу ползает муха. При этом она всегда находится в таком положении, что расстояние от неё до мёда в два раза короче, чем расстояние от неё до уксуса. Нарисуйте геометрическое место точек на поверхности стола, в которых может находится муха.

update

Первый - Илья.
Ответ

Нарисуйте путь, по которому должен двигаться грибник.

Площадь пересечения

Чему равна площадь пересечения двух одинаковых квадратов на рисунке, если длина стороны каждого равна 2, а точка О является центром одного из них?

update

Быстрее всех был Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Площадь пересечения равна четверти площади квадрата, то есть 1 кв.ед. Это видно из следующего рисунка.

Чему равна площадь шестиугольника?

Расстояние между столбами

Два столба стоят вертикально на ровной поверхности на некотором расстоянии друг от друга как показано на рисунке. Высота одного столба равна 15 м, высота другого - 10 м. Чему равно расстояние AB между столбами, если известно, что высота точки M над поверхностью равна 6 м?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

Расстояние может быть любым.
Из подобия треугольников ABC и NBM следует, что MN/15=NB/AB.
Из подобия треугольников BAD и NAM следует, что MN/10=NA/AB.
Складывая левые и правые части получаем:
MN/15+MN/10=(NB+NA)/AB
(10MN+15MN)/150=1
MN=6
Таким образом MN=6 при любом значении AB.

Ещё немного геометрии - чему равна высота треугольника?

Третье решение

Слева на рисунке показаны две проекции одной детали (вид спереди и вид сверху). Требуется построить третью проекцию (вид слева). Два варианта решения уже показаны. Найдите третий вариант решения этой чертёжной задачи, который не был бы комбинацией двух предыдущих. Аксонометрическое (наглядное) изображение можно не рисовать.

update

Первый - Медалист.
Ответ

Ещё одна задача - чему равен угол?

Угол

Чему равен угол ABC, если A, B и C - середины рёбер куба?

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

120.
Треугольник BCE равносторонний, поэтому угол CBE равен 60 градусам. Следовательно, искомый угол ABC, как сопряженный, равен 120 градусам.

И ещё две задачи на скорость:
Угол между диагоналями куба.
Длина гипотенузы.

Грибник

Грибник пошёл в лес, который будем считать полуплоскостью, и заблудился. Известно, что расстояние от грибника до границы леса не более двух километров. Нарисуйте путь, по которому должен двигаться грибник, чтобы наверняка выбраться из леса и пройти при этом не больше 13 километров.

update

Ответ

Допустим, грибник находится в точке О. Тогда OABCDE - путь, который гарантирует выход из леса. Этот путь имеет общие точки с любой касательной к окружности радиуса 2 км с центром в точке О. Его длина не более 12,83 км.

В каком месте построить мост?
Кратчайший путь для муравья.

Сечение

На рисунке заштрихован результат пересечения треугольной пирамиды плоскостью. Возможно ли такое сечение?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

Стороны сечения при продолжении пересекают переднее ребро пирамиды в двух разных точках. Этого не может быть, так как две плоскости пересекаются по прямой.

Про бруски, которые можно разъединить.