Куда следует забить второй гвоздь?

Обруч висел на гвозде. Его отклонили в сторону, как показано на рисунке. Если его отпустить, то он изменит свое положение. А куда следует забить второй гвоздь, чтобы обруч не изменил своего положения, если его отпустить? Указать нужно все возможные точки.

Ответ
Оранжевая дуга на рисунке.

Как найти центр окружности?

Дана окружность. Как найти ее центр при помощи чертежного прямоугольного треугольника без делений и карандаша? Карандашом можно проводить линии и отмечать точки.

Кто найдет клад на дачном участке?

Объем бутылки

Интересная задача на смекалку. Бутылка наполнена жидкостью меньше, чем наполовину. Нижняя часть бутылки имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Верхняя часть имеет произвольную форму, например, как на рисунке. Требуется с помощью линейки определить объем этой бутылки. Толщиной стекла можно пренебречь. Доливать или выливать жидкость нельзя.
Если с этой головоломкой справитесь, то попробуйте найти диагональ бруска с помощью одного замера.

Стеклянный куб

Имеется сосуд в виде стеклянного куба и кран, из которого можно получить неограниченное количество воды. Нужно заполнить сосуд водой на 1/3 его объема. Измерительными инструментами пользоваться нельзя. Если потребуется, отметки на кубе можно делать маркером.

Для тех, кто справился с заданием, предлагаю найти диагональ бруска с помощью одного замера или решить еще одну задачу про переливание воды.

Исчезнувшая деталь

Куда пропал оранжевый квадрат на втором рисунке, если размеры всех одинаковых составных частей на первом и втором рисунках совпадают?

Найти угол

Дан куб. Чему равен угол, который выделен на рисунке красным цветом?

Где расположить пожарную команду?

Три деревушки расположены в углах равностороннего треугольника. Деревня Дубки насчитывает 600 домов, в деревне Березки 400 домов, а в деревне Осинки всего 200 домов. Считается, что вероятность возгорания любого дома в любой деревне одинакова. Также считаем, что из любого места в любое другое машина может попасть по прямой. В каком месте нужно расположить пожарную часть, чтобы суммарное расстояние, которое проезжает пожарная машина до места пожара было минимальным в долгосрочном периоде?

Диагональ бруска

В задаче про взаимосвязь вещей использовался стол и деревянный брусок. Возьмем тот же прямоугольный стол и брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Вместо транспортира у нас будет линейка. Задача состоит в том, чтобы только одним замером линейки измерить объемную диагональ бруска.

Быстрые головоломки

"Быстрые" - это такие головоломки, на решение которых можно потратить не более одной минуты. Эта задача из книги Мартина Гарднера "Математические головоломки и развлечения".
Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рисунке. Пользуясь теми данными, которые есть на чертеже, нужно определить длину гипотенузы АС.

Клад на дачном участке

Дачник, перекапывая грядку на своем участке, нашел старую бутылку с письмом. В письме было написано следующее:

Сначала нужно пройти от дуба до большого камня и от него направо под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть на этом месте палку; затем пройти от дуба до маленького камня и от него налево под прямым углом на такое же расстояние, воткнуть в этом месте еще одну палку, в середине отрезка, соединяющего палки, зарыт клад.

Датчик вспомнил, что когда он заселялся на участок, то ему пришлось убрать два камня. На месте большого камня сейчас стоит дом, а на месте маленького камня сейчас вырыт колодец. Проблема заключается в том, что все деревья, которые находились на участке пришлось убрать и место, где раньше располагался дуб, неизвестно. Как же дачнику отыскать клад?

Головоломный марафон. Задание 7

Представим, что с утра выпал снег. Известно, что дворник расчищает круглый участок двора радиусом 10 метров за полчаса. За какое время он расчистит квадратный участок двора со стороной 30 метров. При решении нужно учитывать, что дворник работает оптимальным образом, т. е. снег каждый раз уносится к ближайшей точке за границу участка. Также считается, что время затрачивается только на работу против сил трения.

Задача о пауке и мухе

Наиболее известная головоломка Г. Дьюдени - английского изобретателя головоломок - задача о пауке и мухе. Впервые она была опубликована в 1903 году в одной английской газете.

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рисунке. Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?
Ответ
Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, то нужно выбрать среди них ту, которая дает кратчайшее расстояние. Ответ показан на рисунке, длина кратчайшего пути от паука к мухе равна 40 футам.

В каком месте построить мост?

Несложная задачка от моего знакомого. Есть два дома: А и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост, естественно, должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы путь от дома А к дому B был минимальным.
Ответ
Так как ширина реки постоянна (обозначим её s), то при выборе пути это значение можно не учитывать. То есть можно предположить, что реки нет, а все точки на правом берегу сдвинуть на расстояние s к левому берегу. Точка B перейдет в точку C. Теперь нужно искать кратчайшее расстояние между точками A и C. Это, естественно, будет отрезок AC. Отрезок АС пересекает левый берег реки в точке D. В этом месте и нужно строить мост. Так как DC равно BE, то путь ADEB будет минимальным.