Количество треугольников

Внутри квадрата случайным образом поставили точку и соединили ее с вершинами квадрата. Далее каждую новую точку соединяли отрезками с вершинами квадрата и уже поставленными точками так, чтобы количество связей было максимальным, но отрезки не пересекались. При этом место расположения каждой новой точки выбиралось случайно, но не могло находиться на стороне квадрата или уже проведенном отрезке. В итоге, получилась сеть из элементарных треугольников. Под элементарным понимается треугольник, который не разбит на более мелкие треугольники. Например, количество элементарных треугольников для случая с десятью точками (на рисунке) легко посчитать. А сколько элементарных треугольников получится для N точек?

Как нарисовать квадрат?

Плоскость разбита на квадраты со стороной 10 см. Как с помощью линейки без делений начертить квадрат, площадь которого 80 кв.см?

Ответ
Закрашенные треугольники равны между собой. Следовательно, площадь четырех больших квадратов будет равна площади пяти маленьких квадратов образующих "крест". Площадь маленького квадрата (4*100)/5 = 80 кв.см.

Черно-оранжевый треугольник

Дан равносторонний треугольник. Внутри него взяли произвольную точку и соединили ее с вершинами. Также из этой точки опустили перпендикуляры на все стороны треугольника. Стандартный вопрос. Какого цвета больше: черного или оранжевого?

Ответ
Через выбранную точку проводим параллельные сторонам треугольника прямые. Получаем разноцветные пары равных треугольников. Следовательно, площади разных цветов равны.

Решение для предыдущей задачи про треугольник пока никто не нашел.

Опять четверть окружности

Эта задача будет легче предыдущей про четверть окружности и намного легче задачи про треугольник. А вопрос тот же: какая площадь больше - оранжевая или черная?

Прямоугольник из двух деталей

Разрежьте фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник размером 6 на 10 клеток.

Из похожих задач: про дома и деревья.

Оранжево-черный треугольник

Традиционный вопрос: какая площадь больше - черная или оранжевая? Ответ нужно обосновать.

Похожие задачи: прямоугольник, звезда, четверть окружности, квадрат.
Подсказка

Какого цвета больше?

Последние задачи про оранжево-черные фигуры были такими:
Звезда, четверть окружности, квадрат.
На этот раз предлагаю вот такой разукрашенный прямоугольник. Какая площадь больше - оранжевая или черная? Для решения практически не потребуется делать дополнительных построений, если только самую малость.

Колодец на даче

Два соседа решили сделать рядом со своими дачными участками колодец. Место, где есть вода и можно копать, обозначено красным пунктиром. Дачники договорились, что место установки нужно выбрать так, чтобы сумма расстояний от колодца до их домов была минимальной. Как определить, в каком месте делать колодец?

Ответ

Задача Цинь Цзю-шао

Задача, автором которой считается китайский математик Цинь Цзю-шао, живший в XIII веке.
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот и идти на запад, то это же дерево можно будет увидеть, пройдя 900 шагов. Определить скольким шагам равен поперечник города.

Нашел эту задачу в книге В. Н. Болховитинова "Твое свободное время". Ответ в книге есть, а решения нет. Однако, автор утверждает, что математически задача решается очень сложно, а вот геометрическим масштабным построением решить ее не составляет труда. У меня с первого раза не получилось, попробуйте вы.

Самый короткий путь

На рисунке разными цветами обозначены дороги. Каждая из них по форме является половиной окружности. Пересекаются дороги только в красных точках, в других местах перейти с одной дороги на другую нельзя. Известно, что светло-зеленая дорога короче темно-зеленой, темно-зеленая короче серой, серая короче желтой, а желтая короче фиолетовой. Укажите путь минимальной длины из точки А в точку В.

Ещё две задачи, в которых требуется найти путь минимальной длины:
Задача о пауке и мухе
В каком месте построить мост?

Как найти центр окружности?

В вашем распоряжении карандаш и обычная линейка с параллельными краями. Требуется найти центр окружности при условии, что ширина линейки меньше диаметра окружности.

Ответ
С помощью линейки ставим 4 точки на окружности:

Далее находим точки А и В следующим образом:

Прямая АВ будет проходить через центр окружности. Проделав все построения еще один раз мы сможет найти вторую прямую, проходящую через центр. Точка пересечения АВ и второй прямой и будет центром окружности.

После этого попробуйте найти центр окружности с помощью прямоугольного треугольника и карандаша.

Как убежать от гоблина?

Продолжаю двигать гору Фудзи, то есть читать книгу Паундстоуна "Как сдвинуть гору Фудзи?" Вот еще одна интересная задачка из этой книги.
Вы находитесь в лодке точно в центре абсолютно круглого озера. На берегу озера гоблин. Гоблин замышляет против вас что-то недоброе, но он не умеет плавать и лодки у него тоже нет. Если вы сумеете причалить к берегу, а гоблин не сумеет вас там подкараулить и сразу же схватить, вы всегда сумеете на земле от него убежать и вырваться на свободу. Вот в чем условие задачи: гоблин может бежать со скоростью в четыре раза выше, чем скорость вашей лодки. У него безупречное зрение, он никогда не спит и мыслит очень логично. Он сделает все возможное, чтобы поймать вас. Как бы вы могли убежать от гоблина?

Вид слева

Нашел эту задачку на одном из форумов. На рисунке показаны два вида одной и той же детали: вид спереди и вид сверху. Требуется нарисовать вид слева.

Ответ
Например, такой вариант:

Оранжевое или черное?

Квадрат раскрасили оранжевым и черным цветами как показано на рисунке. Какая площадь получилась больше - оранжевая или черная - и почему? Может показаться, что задача сложная, но это не так. Для решения не потребуется сложных геометрических построений, достаточно будет хорошей наблюдательности.

Еще задачи из серии "какая площадь больше?": раз и два.

Простой способ вычисления площади многоугольника

Допустим, сторона одной клетки равна 1 (соответственно, площадь клетки будет равна 1 кв.ед.). Требуется найти площадь многоугольника на рисунке. Оказывается, есть очень простой способ. Ради интереса, попробуйте сначала найти площадь доступным вам способом, а потом посмотрите решение.

Решение
Когда вершины многоугольника расположены в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика. Формула так названа в честь австрийского математика Пика, который открыл ее в 1899 году.
S = В + Г/2 - 1, где
S - площадь многоугольника;
В - количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника (зеленые точки);
Г - количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника (синие точки).
Получаем, S = 28 + 20/2 - 1 = 37 кв.ед.

Опять про площади

Очередная задача про площадь фигур. Дан прямоугольный оранжевый лист. Из него вырезали прямоугольный кусок. Получилась фигура показанная на рисунке. Требуется разделить эту фигуру одной прямой на две части так, чтобы площади получившихся частей оказались равными.

Ответ
Нужно провести прямую через центры прямоугольников.

Из этой же серии:
Про четверть круга.
Про звезду.

Какая площадь больше?

Дана четверть круга. На ее радиусах как на диаметрах построены полукруги. Какая площадь больше: оранжевая или черная?

Ответ
Пусть Sч - площадь черной части, 2S - площадь оранжевой. На рисунке видно, что 2S + Sч образуют сегмент большого круга. Радиусы маленьких полукругов в два раза меньше, чем радиус большого. Поэтому площадь большого круга будет в 4 раза больше, чем площадь каждого из маленьких кругов. То же соотношение справедливо и для подобных сегментов этих кругов. Большой сегмент 2S + Sч в 4 раза больше, чем любой из маленьких сегментов S, то есть 2S + Sч = 4S. Соответственно, Sч = 4S - 2S = 2S. То есть оранжевая и черная площади равны.

Похожая задача про звезду.

Площадь звезды

Какая часть звезды больше по площади, черная или оранжевая?

Ответ
На рисунке видно, что и черная и оранжевая части состоят из одних и тех же треугольников. Поэтому площади будут равны.

Не для всех задач, которые публикуются, у меня есть ответ. Например, такой была задача, в которой нужно было найти животное на рисунке. Помнится, было еще две таких задачи без ответа (вернее, они попали ко мне без ответа, а я их не решал): про мишень и про куб из одинаковых деталей.

Объем Солнца

Известно, что расстояние от Земли до Солнца примерно в 387 раз больше, чем расстояние от Земли до Луны. А сможете определить во сколько раз объем Солнца больше объема Луны?

Подсказка
Не случайно выбран рисунок с солнечным затмением.

Мост из спичек

Две головоломки со спичками. Первая совсем простая и многим известная. Есть ров с водой, который обозначен на рисунке синим цветом. Есть две доски (спички). Ширина рва равна длине спички. Поэтому, если спичку расположить просто перпендикулярно рву, то она провалится в воду. Спрашивается, каким образом можно построить мост через этот ров с помощью двух спичек?

Ответ

За основу второй задачи взята головоломка "Мост через ров" из книги Генри Дьюдени "200 знаменитых головоломок мира".