AC=2AB

Дан отрезок AB. С помощью одного только циркуля найдите точку C, такую, что отрезок AC=2AB.

Про отрезок нужной длины.
Про угол нужной величины.
Про центр окружности.

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ

Вначале проводим окружности с центрами в точках А и В и радиусом АВ. Пусть D - одна из точек пересечения этих окружностей. Далее тем же раствором циркуля на окружности с центром В откладываем дуги DE и EC. Точка С - искомая точка.

Не менее 4 окружностей

Дан квадрат со стороной 1, в котором нарисовано несколько окружностей. Сумма длин всех окружностей равна 10. Получится ли при таких условиях провести одну прямую, которая будет пересекать не менее четырех из этих окружностей?

SQRT7

Задача с устного командного тура олимпиады по математике.
Дан правильный шестиугольник со стороной 1. Постройте с помощью карандаша и линейки без делений отрезок длиной √7 (квадратный корень из 7).

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ

Длина отрезка BN равна √7.

Похожие задачи:
Постройте угол величиной 15 градусов.
Как найти центр окружности?

Коробка конфет

Коробка конфет имеет размеры 21x15x3 см. Ее перевязали ленточкой "подарочным" способом (как показано на картинке). Какая длина ленты для этого потребовалась (без учета бантика)?

update

Первым правильно ответил knop.
Ответ

60 см.

Можно сделать "двойную" развертку коробки как показано на рисунке. При этом, 1 и 2 - проекции одной и той же точки. В этом случае лента будет представлять из себя прямую линию. Также важно отметить, что длина этой линии не зависит от начального положения точки 1 и отрезок 1-2 всегда будет параллелен нарисованному. Его длину легко вычислить L=2*sqrt((21+3)^2 + (15+3)^2)=60 см.

Бильярд

Бильярдный стол имеет форму прямоугольного треугольника (половина квадрата, который разрезали по диагонали). У борта, который является гипотенузой, стоит три шара. По всем трем шарам одновременно производится удар в направлении перпендикулярном гипотенузе. Какой шар быстрее всех вернется на гипотенузу? Шары считаем точками. При отскоке от борта угол падения равен углу отражения.

update

Первыми были durach в твиттере и Waleriy в этом блоге.
Ответ
Шары вернутся одновременно и пройдут путь равный длине гипотенузы.

Плот

Канал дважды поворачивает под прямым углом как показано на рисунке. Ширина канала равна 1. Расстояние между участками поворота намного больше 1, например 10. Понятно, что по каналу может проплыть квадратный плот размером 1x1. А как должен выглядеть плот, который тоже сможет проплыть по каналу, но площадь которого равна 1,2 кв.ед.?

update

Первым правильно ответил ovo.
Ответ
Площадь фигуры, образованной пересечением двух полукругов, будет равна примерно 1,23 кв.ед. Точное значение: (4*pi-3*sqrt(3))/6

Задача про колодец на даче.
Задача про мост из спичек.

Клин

Задача с устного тура олимпиады по физике.
Левый клин медленно задвигают под правый. Каким должен быть угол α, чтобы правый клин перевернулся?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
α > arctg(3/4).

Для решения нужно знать следующее. Во-первых, центр масс треугольника находится на пересечении его медиан. Во-вторых, клин начнет опрокидываться, когда вертикаль, проходящая через центр тяжести, выйдет за пределы площади опоры. На чертеже показан предельный случай, центр тяжести клина обозначен точкой O. Легко доказать, что угол α в этом случае равен углу ACB, который легко найти через тангенс. Откуда получаем, что α=arctg(3/4).

На 3 равные части

Лист бумаги имеет форму четверти круга. Как его разрезать на три равные части? При этом нельзя пользоваться чертежными инструментами, а можно только сгибать листок.

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

Сгибаем листок пополам по вертикали и по горизонтали, получаем точки M и N. У прямоугольных треугольников OMQ и ONP гипотенузы в два раза больше катетов, поэтому углы OMQ и ONP равны 30 градусам. Откуда получаем, что и углы AOM, MON и NOB равны 30 градусам. Следовательно, отрезки OM и ON делят лист на три равные части.

Геометрические головоломки:
Как построить угол величиной 15 градусов?
Как разрезать кусок фанеры на две равные части?

Сумма углов

Чему равна сумма углов XAY, XBY, XCY и XDY?

update

Быстрее всех был @Kulida в твиттере.
Ответ
Так как угол XAP равен углу XDY, угол PAQ равен углу XBY и угол QAR равен углу XCY, то сумма углов XAY, XBY, XCY и XDY равна углу YAR и равна 45 град.

Похожая задача.

8 точек

На рисунке показаны 4 точки. Добавьте к ним еще четыре так, чтобы на серединном перпендикуляре к любому отрезку с концами в любых двух точках лежали ровно две из 8 точек.

15 градусов

При помощи угольника с углами 30, 60 и 90 градусов постройте угол величиной 15 градусов.

update

Первым правильно ответил John Smith.
Ответ
Вариантов много. Один из них такой.

Две задачи про нахождение центра окружности: раз и два.

Разрез

Плотнику нужно разрезать кусок фанеры на две равные по площади части. Разрез должен представлять из себя ровную линию. В качестве приспособлений для разметки есть линейка без делений и карандаш. Как плотник должен провести линию разреза?

update

Первым "универсальный" вариант предложил Дмитрий.
Ответ
Вообще-то практически точно такая же задача уже была. Нужно достроить деталь до прямоугольника. Найти центры двух получившихся прямоугольников и провести через эти центры прямую. Это и будет нужная нам линия разреза.

Для любителей что-нибудь порезать:
Головоломка из бумаги.
Как разделить участок на равные части?

Флаг

На гвозде, который забит в стену, висит флаг. Он закрывает отверстие в стене, место которого обозначено чёрной точкой. Укажите все возможные точки, куда можно было вбить гвоздь так, чтобы висящий на нём флаг закрывал отверстие в стене.

Ответ
Если расположить флаг относительно отверстия в стене как показано на рисунке, то он будет покрывать всё множество точек, в которые можно забивать гвоздь.

Похожая задача - про обруч.

Бордюр

Бордюр в поперечном сечении имеет форму равностороннего треугольника с длиной стороны 20 см. У трех велосипедов радиусы колес равны 25, 30 и 35 см. Получится ли на каком-то из этих велосипедов проехать через бордюр не оставив на нем следа (то есть коснувшись бордюра только в одной точке)?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Проехать "бесследно" получится только на велосипеде с радиусом колеса 35 см.
На рисунке показан предельный случай. Если радиус колеса будет меньше R, то оно будет касаться стороны бордюра и при заезде оставит след. Если радиус будет больше или равен R, то колесо коснется бордюра только в вершине. Из чертежа легко находим R = a/tg(30) = 34,6 см.

Пятиугольник на параллелограммы

Земля во владении короля имела форму пятиугольника. Король решил разделить эту землю на отдельные княжества. Король любил строгие формы и поэтому непременно хотел, чтобы каждое княжество имело форму параллелограмма. Однако, мудрый советник быстро на словах доказал королю, что разделить землю подобным образом не получится. Как он это сделал?

update

Первым правильно ответил birkin.
Ответ
Если от одной стороны какого-либо княжества-параллелограмма, которое примыкает к границе пятиугольника, переходить по параллельным сторонам, то когда-нибудь мы должны прийти к другой стороне пятиугольника. Но у пятиугольника не для всех сторон найдется параллельная пара. Поэтому задумку реализовать нельзя. .

Проволочный треугольник

На равносторонний треугольник из проволоки с помощью колец надет стержень длиной 1. Какой наименьший путь пройдет конец стержня, который сейчас находится в точке А, если стержень попытаться обвести вокруг всего треугольника и вернуть в исходное положение? Длина стороны треугольника равна 2. Деформировать проволоку нельзя.

update

Общими усилиями решили на форуме.
Ответ
Рассмотрим "проезд" стержня вдоль одной из сторон.
Из угла треугольника (положение 1) до положения (2) точка А проходит путь 2/sqrt(3), где sqrt(3) - квадратный корень из 3.
После этого точка отодвигается назад на расстояние 2/sqrt(3) - 1 (положение 3).
До следующей вершины треугольника точке А остается двигаться еще 1 (положение 4).
Итого путь по одной из сторон равен 2/sqrt(3) + 2/sqrt(3) - 1 + 1 = 4/sqrt(3).
Соответственно, весь путь будет равен 3 * 4/sqrt(3) = 4*sqrt(3).

Сумма углов

Геометрическая задача на смекалку. Чему равна сумма углов XAY, XBY, XCY, XDY и XEY?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Если переместить вершины всех этих углов в одну точку, то получим следующую картину. Очевидно, что их сумма равна 45 градусам.

Другие задачи:
Чему равна площадь?
Колодец на даче.
Задача Цинь Цзю-шао.

9-угольник

Традиционная рубрика. Какая площадь больше: оранжевая или белая? Для решения потребуется провести дополнительно несколько отрезков.

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Одинаковыми числами отмечены равные треугольники разного цвета. Снизу остается один оранжевый треугольник без пары, следовательно, оранжевая площадь больше.

Похожие задачи:
Про треугольник.
Про четверть окружности.
Про прямоугольник.

Найти площадь

Чему равна площадь оранжевой фигуры, если известна только длина отрезка AB = 32 см? Решение довольно простое.

От квадрата остался один восьмиугольник. Можно ли восстановить квадрат?

update

Первым решил задачу Эйч.
Ответ
Если перенести "вырезанный" кусок в середину, то оранжевая фигура изменится, но ее площадь останется прежней. Далее всё просто:
S=(R^2-r^2)*pi/2
На чертеже видно, что R^2-r^2=16^2, следовательно S=128*pi

Квадрат из восьмиугольника

Квадратный лист бумаги разрезали на 6 кусков в форме выпуклых многоугольников. Пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника. Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат? Ответ обосновать.

Геометрические задачи:
Какая площадь больше?
Задача Цинь Цзю-шао