Перпендикуляр

Дана прямая и точка А на ней. Требуется с помощью циркуля и линейки без делений восстановить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку. При этом можно провести не более трёх линий, третьей линией должен быть искомый перпендикуляр.

update

Первым правильно ответил Константин Кноп.
Ответ

Цифрами обозначена последовательность построений.

Ещё парочка занимательных построений:

Как найти центр окружности?

Увеличение отрезка в два раза.

Высота

AD и BD - биссектрисы углов у основания треугольника - образуют прямой угол ADB. Чему равна высота треугольника ABC, если известно, что AB=10?

update

Быстрее всех был Медалист.
Ответ

Так как треугольник ABD прямоугольный, то сумма углов a+b=90. Тогда сумма углов BAC и ABC в треугольнике ABC будет равна 2a+2b=180. То есть отрезки AC и BC должны быть параллельны, а точка C находится в бесконечности. Соответственно и высота бесконечна.

Ещё немного занимательной геометрии:

Равен ли угол 31 градусу?

BE+DF=?

В каком месте построить ещё один мост?

Хорошее продолжение задачи о строительстве моста. Есть два дома: A и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы расстояние от каждого из домов до ближайшего к нему въезда на мост было одинаковым.

update

Первым правильно ответил TheTriomo.
Ответ

Находим точку C. Далее строим серединный перпендикуляр к AC, который будет пересекать левый берег в точке D. Искомым мостом будет DE. Легко проверить, что AD=BE.

Две монеты

На столе лежат две серебряные монеты одинаковой толщины. В столе имеется отверстие. Диаметр первой монеты точно совпадает с диаметром отверстия. Вторая монета меньше первой. И если её подталкивать к отверстию, то она начинает крениться в тот самый момент, когда её край достигает центра отверстия. Первая монета весит 10 грамм. Сколько весит вторая монета?

update

Первым был Andrew Antonets.
Ответ

5 грамм.
На рисунке показан момент, когда край монеты (точка С) совпадает с центром отверстия. В это время монета начинает крениться над отверстием. Видно, что диаметр AD монеты совпадает с хордой отверстия, а точка B - центр монеты. Пусть длина радиуса монеты AB=BC=1. Тогда легко вычислить, что радиус отверстия AC=CD равен квадратному корню из 2. Так как толщина монет одинакова, то их веса будут пропорциональны площадям, которые в свою очередь пропорциональны квадратам их радиусов. Получается, что большая монета тяжелее меньшей в (sqrt(2))^2 раз, то есть в 2 раза. Следовательно, вес меньшей монеты равен 10/2 = 5 грамм.

И ещё немного геометрии:
Найдите площадь фигуры.
Найдите объём Солнца.

Третий вид

Потренируем пространственное мышление. На рисунке изображены две проекции объёмной детали: вид спереди и вид слева. Как будет выглядеть вид сверху? Есть два решения.

update

Ответ

Подобное: вид слева и вид сверху.

Ширмы

Математик решил отгородить один из углов прямоугольной комнаты. У него в наличии имеются две одинаковые ширмы, длина каждой из которых 4 м. При этом математик хочет сделать так, чтобы отгороженный участок комнаты имел максимально возможную площадь. Как ему следует расположить ширмы?

update

Первый - TheTriomo.
Ответ

Ширмы должны быть расположены на сторонах воображаемого правильного восьмиугольника. Площадь отгороженного угла при этом будет максимальна и равна 8(sqrt(2)+1) кв.м.

Найдите площадь фигуры.
Найдите длины сторон.
И сделайте разрез.

Спираль

На цилиндрическую трубу спиралью намотана проволока, которая образует 10 витков. Концы проволоки лежат на одной и той же образующей цилиндрической трубы. Длина трубы равна 9 см, а длина её внешней окружности составляет 4 см. Чему равна длина куска проволоки?

update

Первым был Andrew Antonets .
Ответ

41 см.
Если развернуть поверхность цилиндра на плоскость, то образующая, окружность десятикратно повторенная и проволока образуют прямоугольный треугольник. Длина проволоки - это длина гипотенузы, поэтому: L=sqrt(81+1600)=41 см.

Про универсальную пробку.

Вид сверху

Даны две проекции объемной детали - вид спереди и вид слева. Требуется построить вид сверху. Чертёж выполнен по правилам. Если бы требовались невидимые линии, они были бы показаны пунктиром. Есть два решения.

update

Первым был ‏@arturdubro в твиттере.
Ответ
Решение №1.

Решение №2.

Похожая задача.

Площадь шестиугольника

У правильного шестиугольника и равностороннего треугольника одинаковые периметры. Площадь треугольника равна двух квадратным единицам. Чему равна площадь шестиугольника? Принимается красивое геометрическое решение, без формул.

update

Первый - Vlad.
Ответ

На рисунке видно, что у треугольника и шестиугольника одинаковые периметры. Обе фигуры состоят из одинаковых треугольников меньшего размера. Если площадь большого треугольника 2 кв. ед., то очевидно, что площадь шестиугольника 3 кв. ед.

Как разделить кусок фанеры на две равные по площади части?

Периметр ABC

Из точки C проведены две касательные к окружности. Отрезки касательных YC и XC равны. Длина каждого из низ - 10 единиц. Точка P на окружности выбрана случайным образом так, чтобы она оказалась между точками X и Y. Затем через точку P провели ещё одну касательную. Чему равен периметр треугольника ABC?

update

Ответ

20.
Из начальных условий следует, что CA+AY+CB+BX=20. Но AY=AP и BX=BP (так как это тоже отрезки касательных, проведённых из одной точки). Следовательно, CA+AP+BP+CB=20 или CA+AB+CB=20 (а это и есть периметр треугольника ABC).

BE+DF=?

А -> B

Несложная бильярдная задача. Шаром А требуется попасть по шару В. Но есть несколько ограничений. Шар А может коснуться не более двух бортов. Красным цветом показано препятствие, которое шар А не должен коснуться до соударения с В. Как нужно ударить по шару А, чтобы попасть им в В и не нарушить условий? Шары считаем материальными точками и при ударе о борт угол падения равен углу отражения.

update

Первый полный ответ дал Медалист.
Ответ

Вначале строим А1 и В1 - зеркальные относительно бортов отражения точек А и В. Далее проводим отрезок А1В1. Точка С и будет точкой, в которую нужно целиться. D - точка на левом борту, в которую попадет шар А после соударения с нижним бортом.

Ещё одна бильярдная задача.

Универсальная пробка

На рисунке показана универсальная пробка, которой можно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия. Радиус круглого основания равен единице, высота - двум единицам. Ребро в верхней части расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного, и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру. Чему равен объем такой пробки? Задача решается без сложных вычислений.

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

π.
Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндрической, соответствующие сечения были бы прямоугольниками, при этом площадь каждого прямоугольного сечения была бы вдвое больше площади треугольного сечения. Поскольку цилиндр можно считать составленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсальной пробки должен составлять половину объема цилиндра: объем цилиндра равен 2π, следовательно, объем универсальной пробки равен π.

Задача про плот.

BE+DF=?

Геометрическая задача с несложным и красивым решением.
Буквой E отмечена произвольная точка на стороне BC квадрата ABCD. AF - биссектриса угла DAE. Известно, что AE=a. Чему равна сумма длин отрезков BE+DF?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

BE+DF=а.
Выполним дополнительные построения так, чтобы треугольник AEB был равен треугольнику AE'D. Видно, что угол FAB равен углу E'AF и равен углу AFE'. Следовательно, треугольник AE'F равнобедренный и AE'=E'F=AE=a. При этом E'D+DF=BE+DF=a.

Ещё две геометрические головоломки:
Как будет выглядеть вид сверху?
Как убедиться, что угол равен 31 град?

Вид сверху

Перед вами два вида одной детали: вид спереди и вид слева. Требуется нарисовать вид сверху. Следует учитывать то, что чертеж выполнен по правилам и невидимых линий на двух данных видах нет.

update

Быстрее всех был Andrew Antonets.
Ответ

Похожая задача - требуется нарисовать вид слева.

Вид сверху

Два деревянных бруска соединены как показано на рисунке. Нарисуйте вид сверху для нижнего бруска, если известно, что эти бруски можно разъединить не сломав их.

update

Первым правильно ответил Саня.
Ответ

Подобная задача - нарисовать вид слева.

Гора

На поверхности нарисован квадрат ABCD. В вершине A этого квадрата сидит муравей. Точки A и C разделяет вертикальная стена в форме равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Укажите кратчайший путь для муравья из точки A в точку C.

update

Быстрее всех был Саня.
Ответ

ABC или ADC.

Похожие:
Задача о пауке и мухе.
Про колодец на даче.

31 градус

На листе нарисовал угол. Каким образом только с помощью циркуля определить равен ли этот угол 31 градусам?

update

Первым правильно ответил Саня.
Ответ

Нужно провести окружность в вершине нашего угла. Допустим, она пересекает стороны угла в точках А и В. Начиная с точки А, будем откладывать циркулем на этой окружности дуги, равные дуге АВ. Если, отложив 360 таких дуг, мы обойдем окружность ровно 31 раз, то исходный угол равен 31 градусу.
Еще один вариант решения в комментариях.

Только с помощью циркуля.
Только с помощью угольника. 
С помощью карандаша и линейки.

1

Шестиугольник ABCDEF разрезан на два шестиугольника той же формы, но пропорционально меньших размеров. Длина его стороны AB=1. Найдите длины остальных сторон.

Деталь

Если тонкую прямоугольную деталь с отверстием неправильной формы подвесить за вершину A, то сторона AB образует с вертикалью угол 60 градусов. Если подвесить за вершину B, то получится угол 30 градусов. Какой угол с вертикалью образует сторона AB, если деталь подвесить за середину стороны AB (точка C)?

update

Первым правильно ответил Nakilon.
Ответ

60 градусов.

Во всех трех случаях подвешивания вертикаль будет проходить через центр тяжести O. Легко определить, что треугольник AOB будет прямоугольным, а треугольник AOC будет равносторонним. Следовательно, угол ACO равен 60 градусам.

Стороны шестиугольника

Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны. Длина некоторых сторон указана на рисунке. Найдите длину AF и BC.

update

Первым правильно ответил birkin.
Ответ

AF=10, BC=6.
Исходный шестиугольник можно достроить до треугольника. Так как сумма всех углов шестиугольника равна 720 град и все углы равны, то каждый угол равен 120 град. Соответственно, смежные с ними углы равны 60 град. Получаем, что построенный треугольник равносторонний. Приравняв его стороны легко найти неизвестные отрезки AF и BC.