0 и 9

Играют двое. Ходят по очереди. Первому игроку разрешается за один ход записать на доске одну из цифр, 0 или 9, в одну строчку слева направо. Второй игрок за свой ход должен поменять любые две цифры существующего ряда местами (если на доске одна цифра, то он пропускает ход). Игра заканчивается, когда на доске будет записано 99 цифр. Если получившийся ряд симметричен относительно средней цифры, то выигрывает второй игрой. Если не симметричен, то побеждает первый. Существует ли выигрышная стратегия у второго игрока и как он должен играть?

update

Первый - Константин Кноп.
Ответ

Существует.
Первые 50 ходов можно играть как угодно. После этого используем такую стратегию. Пусть i>50 - номер хода. Если i-я и (100-i)-я цифра совпадают, то можно их поменять местами, все равно это ничего не меняет. Если не совпадают, то одна из них не равна 50-й цифре, и ее можно поменять с 50-й цифрой. Итог перестановки - i-я и (100-i)-я цифра равны. Поскольку это верно для всех i>50, то ряд будет симметричным.

Похожее - игра с 999 спичками.

Игра в камни

Двое играют в камешки. Цель - бросить свой камень так, чтобы он упал как можно ближе к зафиксированной точке. Но у первого игрока есть два камня, у второго - один. То есть у первого на одну попытку больше. Уровень мастерства у игроков одинаковый. Получаются следующие варианты исхода игры. (1) Два камня первого игрока оказываются ближе к цели, чем камни второго. (2) Первый камень ближе к цели, второй камень - дальше. (3) Первый камень дальше от цели, второй - ближе. (4) Оба камня первого игрока дальше от цели, чем камни второго. В итоге в трёх случаях из четырёх выигрывает первый игрок, то есть вероятность его победы в игре равна 3/4. Верно ли это?

update

Первый - Илья.
Ответ

На самом деле вероятность победы первого игрока равна 2/3.
В первом варианте исхода игры, когда два камня первого игрока ближе к цели, чем камни второго, скрыто два варианта. Ведь каждый из двух камней может быть ближе к цели. Аналогичная ситуация с четвёртым вариантом. Каждый из камней первого игрока может быть дальше от цели. Таким образом следует рассматривать шесть вариантов исхода игры, в четырёх из которых выигрывает первый игрок. То есть вероятность его выигрыша равна 4/6 или 2/3.

2048

Все уже наверное попробовали свои силы в игре 2048? Какую стратегию используете? Какое максимальное количество очков набрали? Какая самая большая плитка получалась? У меня пока 49220 и 4096 соответственно.

15 копеек

На столе лежит 15 однокопеечных монет. Играют двое и ходят по очереди. За ход игрок может взять одну, две или три копейки. Тот, кто возьмёт последнюю копейку - проигрывает. Цель - победа. Как бы вы играли, если бы ходили первым?

update: первый - Илья.

Ответ

В начале первому нужно взять две копейки, а затем каждым следующим ходом дополнять количество взятых вторым игроком монет до четырёх. В итоге первый игрок возьмёт предпоследнюю монету, а второму достанется последняя.

Похожая игра - 999 спичек.

100 монет

Сто монет разного достоинства выложены в один длинный ряд. Играют двое. Сначала первый игрок берёт одну из двух крайних монет и оставляет её у себя. Тоже самое делает второй игрок, затем снова первый и т.д. До тех пор, пока не кончатся монеты. Если в результате у игроков окажутся равные суммы денег или у первого игрока она будет больше, то он считается победителем. Если денег окажется больше у второго игрока, то выигрывает он. Кто выиграет при правильной игре и какую стратегию он должен использовать?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Выиграет первый игрок, если будет придерживаться следующей стратегии.
В начале нужно пронумеровать монеты от 1 до 100 и условно разбить их на две группы: с чётными номерами и с нечётными. Далее начинающий игрок должен выбрать группу, сумма денег в которой больше. Если суммы равны, то можно выбирать любую. После определения группы первый игрок должен каждым своим ходом брать монету из этой группы. Такая возможность у него всегда будет. Например, он выбрал нечётные. Тогда первым ходом берёт монету №1. У второго игрока на выбор только две чётных монеты и, взяв одну из них, он даёт возможность первому игроку опять забрать монету с нечётным номером.

Другие головоломные игры:
Кто первым отломит дольку шоколада нужного размера?
Кто возьмёт последнюю спичку?

Фишки

Задача от участника нашего клуба Алексея Лапина.

Имеется n (n=1,2,3,4,...) двухцветных фишек, расположенных в виде цепочки. Играют двое, ходят поочередно. Выполнить первый ход – это значит перевернуть любую одну из фишек. Выполнить следующий ход – значит перевернуть из оставшихся неперевернутых фишек любую одну или любые две рядом стоящие. Победителем считается тот, кто сумеет оставить сопернику последнюю неперевернутую фишку. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

15

На девяти листочках бумаги, разложенных на столе, написаны цифры, как показано на рисунке. Играют двое и ходят по очереди. За один ход разрешается взять один лист с любой цифрой. Выигрывает игрок, у которого окажется три листа с суммой цифр, равной 15. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

Нужно расположить листочки в виде магического квадрата, в котором сумма чисел в любой строке, столбце и диагонали равна 15. Можно заметить, что никакие другие тройки не дают в сумме 15. Теперь игра превращается в обычные крестики-нолики и партию всегда можно свести вничью.

"Шоколадная" игра.

Шоколад

Игрокам в начале игры выдаётся плитка шоколада размером 100 на 99 долек. Играют двое и ходят по очереди. За один ход игроку можно сделать прямолинейный разлом вдоль углубления любой уже имеющейся плитки. Для выигрыша необходимо отломить дольку размером 1 на 1. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Первым правильно ответил Влад.
Ответ

Выигрывает первый игрок.
Стратегия у него должна быть такая. Первым ходом он разламывает плитку на две одинаковые части, размер которых будет 50 на 99 долек. Далее первый игрок копирует ходы второго игрока. Если у второго игрока появляется возможность отломить одну дольку, то первый сможет это сделать быстрее.

Игровое поле состоит из 15 ячеек...

Шашечки

Игровое поле состоит из 15 ячеек. Играют двое. Играющий красной фишкой начинает с ячейки №1, играющий синей - с ячейки №15. Игроки ходят по очереди, первым ходит "красный". Ход состоит в перемещении фишки на соседнюю ячейку по одной из чёрных линий, которые соединяют ячейки. Цель игры для "красного" - захватить фишку "синего", то есть поставить свою фишку на ячейку, занятую синей фишкой. Причём сделать это нужно в течение семи ходов. Соответственно, цель "синего" - не дать "красному" захватить свою фишку. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Ответ Dendrа в комментариях.

Крестики-нолики + 1.

XO+1

Добавим в обычную игру крестики-нолики два нововведения. Во-первых, увеличим поле на одну клетку, как показано на рисунке. Во-вторых, если игрок хочет выиграть заняв нижний ряд, то он должен заполнить в нём четыре клетки. Остальные правила те же. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Ответ

При правильной игре выигрывает первый игрок. Пронумеруем клетки слева направо, сверху вниз. Первый игрок должен начинать с клеток 2 или 6.

Объёмные крестики-нолики.

Конфеты

Илья, участник нашего клуба, предлагает решить следующую задачу.
Двое сладкоежек играют в следующую игру. Перед ними три кучки конфет, в которых 100, 300 и 500 конфет соответственно. Каждый игрок в свой ход делает последовательно две операции: 1) съедает полностью одну из кучек по своему выбору; 2) выбирает одну из оставшихся и произвольным образом делит ее на две новые кучки так, чтобы в каждой новой кучке оказалось как минимум одна конфета (таким образом, делить кучку из одной конфеты уже нельзя, нужно выбрать другую). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход (т.е. когда в каждой кучке останется по одной конфете). Кто выигрывает при правильной игре, первый или второй, и какова выигрышная стратегия?

Про шашки. 

Про корзинки и шарики.

Как нужно играть начинающему?

Играют двое. Игровое поле - полоска бумаги, разделенная на 8 клеток. В клетках 4, 6 и 8 помещены шашки. Играющие поочередно передвигают произвольно выбранную шашку из данных трех на любую клетку в направлении, указанном стрелкой. Шашка может быть передвинута и через другую шашку и поставлена на клетку, занятую другой шашкой. Выигрывает тот, кто последним поставит шашку на клетку 1. Как должен играть начинающий игрок, чтобы обеспечить себе победу?

update

Первым нашел стратегию Илья.
Ответ
Решение в комментариях.
Игра со спичками.

32 спички, обратная задача

В комментариях к игре со спичками речь зашла о разных вариантах условий выигрыша. Пусть все правила остаются прежними, изменим только условие выигрыша на обратное: тот, кто возьмет последнюю спичку, проигрывает. Кто в этом случае выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Первым правильно ответил TheTriomo.
Ответ

В этом случае выигрывает также первый игрок.
В итоге он должен оставить второму игроку 6 спичек. Тогда сколько бы не взял второй, первый после своего хода сможет оставить одну спичку. Чтобы первому игроку оставить 6 спичек своим предыдущим ходом он должен оставить на столе 11 спичек, а перед этим 16, 21, 26 и 31. То есть своим первым ходом первый игрок должен взять 1 спичку.

32 спички

На столе лежат 32 спички. Играют двое. За каждый ход игрок берет одну, две, три или четыре спички. Ходят по очереди. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре (начинающий или второй по очереди игрок) и как он должен играть?
Игра с 999 спичками.

update

Первым правильно ответил Евгений.
Ответ

Выиграет первый игрок.
Задача решается с конца. Выигрыш первому игроку будет обеспечен, если своим предпоследним ходом он оставит на столе 5 спичек. Тогда сколько бы не взял второй игрок, первый всегда заберет все оставшиеся спички. Тогда перед этим первый игрок должен оставить второму 10 спичек. Сколько бы не взял в этом случае второй, первый игрок всегда сможет оставить 5 спичек. И так далее. В итоге получим, что первый игрок после своего первого хода должен оставить 30 спичек, то есть взять 2 спички.

Fun da Vinci

Перед вами увлекательная флеш-игра, которая только поначалу кажется простой, но от уровня к уровню требует всё большей сообразительности. Но ведь чем сложнее головоломка, тем приятнее её разгадать.

Разместить головоломку у себя в блоге.

999 спичек

Трое играют в старинную игру. На столе лежат 999 спичек. Первый игрок за один ход может брать 1 спичку. Второму игроку за ход разрешается брать либо 1, либо 3, либо 5 спичек. Третий игрок за ход берет либо 2, либо 4, либо 6 спичек. Игроки делают свои ходы по кругу, начиная с первого игрока. Тот, кто не может сделать ход, пропускает его. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет и почему?

update

Первой правильно ответила melelnikena.
Ответ

Первый игрок.

Так как второй игрок берет всегда нечетное количество спичек, а третий - четное, то перед каждым ходом первого игрока на столе будет находиться нечетное число спичек. А после хода первого игрока - четное. Значит у первого игрока всегда будет возможность сделать ход.

Другие игровые головоломки:
Выигрышная стратегия при игре в двойные шахматы
Как правильно расставить фигурки?

Выигрышная стратегия

Простая головоломка. Двое играют в шахматы, но делают по два хода сразу. Есть ли у второго выигрышная стратегия?

update

Первым правильно ответил Waleriy.
Ответ

Выигрышной стратегии у второго игрока нет. Если бы такая стратегия существовала, то первый игрок мог бы своими первыми двумя ходами сходить конем и вернуть его обратно, в результате чего он бы оказался в роли второго игрока.

Ещё одну простую головоломку с фигурками пока никто не решил.

Фигурки

В клетчатом квадрате 10x10 двое по очереди ставят фигурки. Первый ставит квадрат 2x2, второй - уголок из трех клеток. Фигурки устанавливаются так, что они занимают целое число клеток и не перекрываются. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Какой игрок выигрывает при правильное игре и как он должен играть?

update

Первым правильно ответил zapryagaev.
Ответ

Выигрывает второй игрок. Своим первым ходом он должен расположит фигуру как показано на рисунке. Таким образом, когда у первого игрока не останется вариантов для хода, второй игрок сможет расположить свою фигуру в образовавшемся пространстве в углу.

Еще можно поиграть в ромашку.

Ромашка

Двое играют в ромашку. Предположим, что у ромашки N лепестков. Играющие отрывают по очереди либо один, либо два соседних лепестка. Выигрывает тот игрок, который оторвет последний лепесток. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
Игра с корзинами и шариками.

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

Выигрывает второй игрок.
Представим, что лепестки расположены в вершинах правильного N-угольника. Если N - четно, то второй игрок должен отрывать лепестки симметричные оторванным первым игроком относительно центра N-угольника. При нечетном N если вначале первый игрок отрывает один лепесток, второй отрывает два лепестка, расположенные в концах стороны, противоположной этому лепестку. Если первый игрок отрывает 2 лепестка, второй отрывает один лепесток в вершине, противоположной стороне, выбранной первым. Далее второй отрывает лепестки, симметричные оторванным первым игроком относительно оси симметрии N-угольника

21

Имеется 11 корзинок и достаточно большое число шариков. Играют двое и ходят по очереди. За один ход можно положить в любые 10 корзинок по одному шарику. Побеждает тот игрок, после хода которого в одной из корзинок окажется 21 шарик. Спрашивается, кто выиграет при правильной игре и как он должен играть чтобы выиграть?