Километровые столбы

Машина едет по трассе с постоянной скоростью. Через некоторое время она проезжает километровый столб, на котором изображено двузначное число. Через час она проезжает ещё один километровый столб, на котором изображены те же самые цифры, но в обратном порядке. Ещё через час машина проезжает третий километровый столб, на котором изображены те же цифры (в каком-то порядке), но разделённые нулём. С какой скоростью двигается машина?

update

Первый - berlin.
Ответ

45 км/ч.
Числа на километровых столбах: 16, 61 и 106.

Дополнительно:
Про скорость течения реки.
Про скорость поезда.

2013

Вместо знаков вопроса расставьте в следующем выражении знаки "+" и "-" так, чтобы результат оказался равным 2013:

update

Первый - victor.
Ответ

Перед квадратами четырёх последовательных чисел можно расставить знаки "+" и "-" так, что значение выражения будет равно 4:
((n+3)^2–(n+2)^2)–((n+1)^2–n^2)=(2(n+2)+1)–(2n+1)=2n+5–2n–1=4
Всего можно выделить 503 таких четвёрки. Тогда получим 503*4+1=2013.

Похожее - нужно расставить знаки операций, чтобы получить 10.

50 на 50

В коробке лежат шары двух цветов: красные и синие. Сколько каких неизвестно, но всего их 14 штук. Из коробки достают наугад 7 шаров и оказывается, что все они красные. Известно, что вероятность этого события была равна 50%. Сколько шаров каждого цвета осталось в коробке?

update

Первым правильно ответил victor.
Ответ

6 красных и 1 синий.

Похожее - про вероятность достать белый шар.

Расклад

Сто шариков имеют веса: 1, 2, 3, ..., 100 грамм. Необходимо разложить эти шарики в 10 одинаковых коробок так, чтобы выполнялось два условия:
1) в итоге все коробки должны иметь разную массу;
2) чем тяжелее коробка, тем меньшее количество шариков в ней должно находиться.
Можно ли это сделать? И если можно, то как?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

Нельзя.
Предположим, что выполнить условия можно. Сумма масс всех шариков равна 5050. Масса самой тяжёлой коробки должна быть больше, чем среднее арифметическое масс всех коробок, то есть больше, чем 505 (веса коробок не учитываем). Так как шарика с массой более 100 грамм нет, то в самой тяжёлой коробке должно быть не меньше 6 шариков. Следовательно, общее количество шариков должно быть не меньше, чем 6+7+8+...+15=105. Но это противоречит условию - в наборе всего 100 шариков.

Пачка соли

Пачка соли стоит 90 копеек. При этом в каждой пачке есть фишка. В свою очередь, за девять таких фишек можно получить пачку соли бесплатно. Если не учитывать стоимость упаковки, то какова реальная стоимость содержимого пачки соли для постоянного покупателя?

update

Первый - victor.
Ответ

80 копеек.

Букет

Букет состоит из красных тюльпанов, белых тюльпанов и жёлтых тюльпанов. Общее число красных и белых цветов равно 100. Общее число белых и жёлтых цветов равно 53. Общее же количество красных и жёлтых цветов меньше 53. Сколько тюльпанов каждого цвета в букете?

Похожее - сколько секций и ящиков на складе?

update

Первый - Илья.
Ответ

В букете 49 красных, 51 белый и 2 жёлтых тюльпана.
Пусть
X - количество красных,
Y - количество белых,
Z - количество жёлтых тюльпанов.
Из условий получаем следующие уравнения:
X+Y=100
Y+Z=53
X+Z=N, где N<53
Сложим три уравнения и получим:
2X+2Y+2Z=153+N
Видно, что в левой части равенства число чётное, откуда следует, то N - нечётное.
Из условий: 2X+2Y=200. Подставим это значение в предыдущее уравнение и получим:
200+2Z=153+N
N=47+2Z
В условии тюльпаны каждого цвета употребляются во множественном числе, поэтому считаем, что Z>1. При этом мы знаем, что N - нечётное, то есть N=49 или N=51. Единственное N, при котором Z>1, равно 51. Тогда X=49, Y=51, а Z=2.

Грибы

На поляне растут два гриба. Погода в этой местности может быть только двух видов: либо целый день идёт дождь, либо весь день солнечно. В дождливый день первый гриб увеличивается на 30%, а второй - на 20%. В солнечный день, наоборот, грибы уменьшаются: первый - на 30%, а второй - на 20%. Через неделю оказалось, что один гриб увеличился, а второй уменьшился. Сколько дней шёл дождь?

update

Первый - Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Дождь шёл 4 дня.

Шаги

Задача с устной математической олимпиады для учеников 6 класса, поэтому решаем её без уравнений.

Отец ведёт сына и дочь в школу. Пока отец делает 3 шага, дочь успевает сделать 5 шагов. Пока дочь делает 3 шага, её брат успевает сделать 5 шагов. Дети посчитали, что вдвоём они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал их отец?

update

Первый - Илья.
Ответ

90.
За один промежуток времени дочь делает 15 шагов, сын - 25, отец - 9. То есть сестра с братом делают вместе 40 шагов за то же время, пока отец делает 15 шагов. Соответственно, за 400 совместных шагов дочери и сына отец сделает 90 шагов.

Ещё две задачи с арифметическим решением:
Из "Репетитора".
Про катер и плот.

S=P

Все числа от 1 до 15 разделили на две группы. В первую группу попали 13 из 15 чисел, во вторую - оставшиеся два числа. Могло ли так получиться, что сумма чисел первой группы оказалась равной произведению двух чисел второй группы?

update

Первый - Илья.
Ответ

Нет.
Пусть x, y - два числа из второй группы, тогда:
1+2+3+...+15-х-у=ху
120=xy+x+y
121=(x+1)(y+1)
Откуда единственный вариант x=y=10, что противоречит условиям.

Какая группа больше?
Как получить простое число?

200-300

Известно, что склад состоит более, чем из одной секций. В каждой секции находится не менее двух ящиков, при этом количество ящиков в каждой секции одинаковое. Также известно, что число ящиков на складе расположено в диапазоне между 200 и 300. Интересно, что если бы вы точно знали это число, то могли бы точно определить и количество секций. Сколько всего секций на складе и сколько ящиков в каждой из них?

update

Первый - Влад.
Ответ

17 секций по 17 ящиков.

Полный квадрат

Алгебраическая разминка. Попробуйте доказать, что произведение четырёх последовательных положительных целых чисел не может быть полным квадратом.

update

Первый - Fred.
Ответ

Пусть n - меньшее из четырёх чисел, тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.

Какая группа больше?

Распределим все целые числа от 0 до 123456 в две группы. В первую группу будут попадать числа, сумма цифр которых чётная. Во вторую же группу будем добавлять числа с нечётной суммой цифр. В какой группе чисел будет больше?
update: первым правильно ответил Влад.

Ответ

Во второй.

Немного статистики.
Как из цифр составить простое число?

Простое

Как, используя каждую цифру от 1 до 9 только один раз, составить девятизначное число, которое было бы простым?

update

Первый - Илья.
Ответ

Простого числа в результате перестановок не получится, так как сумма всех цифр равна 45, а значит составленное из них число будет делиться на 3 и 9.

И ещё две задачи с девятью цифрами:

Выражение равно 1.

Дробь равна 1/3.

Игра в камни

Двое играют в камешки. Цель - бросить свой камень так, чтобы он упал как можно ближе к зафиксированной точке. Но у первого игрока есть два камня, у второго - один. То есть у первого на одну попытку больше. Уровень мастерства у игроков одинаковый. Получаются следующие варианты исхода игры. (1) Два камня первого игрока оказываются ближе к цели, чем камни второго. (2) Первый камень ближе к цели, второй камень - дальше. (3) Первый камень дальше от цели, второй - ближе. (4) Оба камня первого игрока дальше от цели, чем камни второго. В итоге в трёх случаях из четырёх выигрывает первый игрок, то есть вероятность его победы в игре равна 3/4. Верно ли это?

update

Первый - Илья.
Ответ

На самом деле вероятность победы первого игрока равна 2/3.
В первом варианте исхода игры, когда два камня первого игрока ближе к цели, чем камни второго, скрыто два варианта. Ведь каждый из двух камней может быть ближе к цели. Аналогичная ситуация с четвёртым вариантом. Каждый из камней первого игрока может быть дальше от цели. Таким образом следует рассматривать шесть вариантов исхода игры, в четырёх из которых выигрывает первый игрок. То есть вероятность его выигрыша равна 4/6 или 2/3.

Белый шар

В корзине лежит один шар. Известно, что он с одинаковой вероятностью может быть белого или чёрного цвета. Далее в корзину добавляется один белый шар, содержимое перемешивается и один шар достаётся. Он оказывается белым. Какова сейчас вероятность вытащить из корзины белый шар?

update. Первый - Fred.
Ответ

2/3.

Про три карточки.

42 литра

Общее количество воды в семи бочках равно 42 литрам. Далее из первой бочки воду выливают в шесть остальных разделив её поровну. Затем аналогичную операцию проделывают со второй бочкой, с третьей и т.д. После того, как процесс переливания завершается, количество воды в каждой бочке оказывается равным первоначальному. Сколько воды в каждой бочке было до начала переливания?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

12, 10, 8, 6, 4, 2 и 0. Подробности в комментариях.

Переливание за указанное количество операций.

Бочка с вином

Бочка ёмкостью 16 литров полностью наполнена вином. Хозяин решил перед употреблением разбавлять вино с водой и делать это следующим образом. В первый заход взять один литр вина, а освободившееся место заполнить водой. Затем взять два литра и опять заполнить бочку водой. В третий раз взять три литра и снова заполнить бочку до краев водой. И так далее до тех пор, пока бочка не опустеет. Сколько литров воды будет в итоге выпито?

update

Быстрее всех был Дмитрий.
Ответ

Бочка будет доливаться 15 раз, следовательно, 1+2+...+14+15=120 литров.

Скорость течения

Рыбак на лодке плывёт по течению реки и встречает плот. Он продолжает плыть ещё десять минут, а затем возвращается назад и встречает плот на расстоянии полкилометра от предыдущего места встречи. Можно ли утверждать, что скорость течения реки больше 1 км/ч, если рыбак всё это время работал вёслами с одинаковой силой?

update

Первый - Илья.
Ответ

Можно. Если выбрать систему отсчета относительно течения реки, то рыбак в начале плывёт 10 минут в одну сторону, а затем 10 минут в другую. За это время (20 минут) плот проплывает 0,5 км, следовательно, скорость течения реки (1/2)/(1/3)=1,5 км/ч.

Как всем успеть на паром?

Делайте ваши ставки

Наверное все знают передачу "Своя игра" и её правила. Предположим, что трое игроков (назовём их А, Б и В) подошли к финальному раунду со следующими суммами: игрок А набрал 8000, игрок Б - 5700, игрок В - 2700. Начинается финальный раунд и игроки выбрали тему вопроса. Допустим, она оказалась для всех нейтральной, то есть все знакомы с этой темой не очень хорошо, но и не очень плохо. Теперь предположим, что вы в этом трио находитесь на месте игрока Б. Ваша ставка?

update

Ответ

Статья о том, как следует делать ставки:
http://si.alex-utah.org/theory/stakes.html

6 или не 6

Игральную кость бросили пять раз подряд. Что более вероятно, выпадение шестёрки ровно один раз или же полное отсутствие шестёрок?

update

Первый - Илья.
Ответ

Вероятность событий одинаковая.
Вероятность, что шестёрок не будет, равна (5/6)^5.
Вероятность, что шестёрка выпадет только один раз, равна
5*(1/6)*(5/6)^4 = (5/6)^5.

Продолжение темы с игральной костью - чему будет равна сумма очков?