Три этажа

В трёхэтажном здании этажи соединены между собой только лифтом. Известно, что в течение рабочего дня количество посетителей, поднявшихся на третий этаж со второго, равно количеству посетителей, спустившихся со второго на первый. Также известно, что количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. Ночью в здании никого нет. Какая группа будет больше: количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, или количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на третий?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, больше.
Обозначим количество поездок с этажа на этаж как n12, n13 и т.д.
Разделим все поездки за день на три группы:
(n13+n23) - поездки на третий этаж;
(n31+n32) - поездки с третьего этажа;
(n12+n21) - поездки между первым и вторым этажами.
Отметим, что первая группа равна второй. Также, по условию задачи, количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. На основе этих условий можно записать следующее выражение:
(n13+n23)=(n31+n32)<(n12+n21)
А если принять во внимание, что n21=n23, то получим n13<n12

Полный квадрат

Алгебраическая разминка. Попробуйте доказать, что произведение четырёх последовательных положительных целых чисел не может быть полным квадратом.

update

Первый - Fred.
Ответ

Пусть n - меньшее из четырёх чисел, тогда
n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(n^2+3n+1)^2-1
Так как выражение вида x^2-1 не может быть полным квадратом, то и исходное произведение не будет им.

Ретрозадача от Набокова

Задача Владимира Набокова. Последний ход сделали белые. Интересно, что если его вернуть, то у белых будет возможность поставить мат в один ход. Как они ходили и как им нужно было ходить, чтобы сделать мат?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Ситуация на доске была такой:

Выигрышный ход белых - пешка берёт ладью на e8 и превращается в коня.

Каким был последний ход чёрных?

Прищепки

Гуляя по улицам китайских городов можно встретить такую картину. Для чего китаец нацепил на ухо прищепки?

update

Первый - Gennady.
Ответ

Просто проиграл в карты: http://zyalt.livejournal.com/1173716.html

Ещё две головоломки:
Знак из Ютландии.
Профессия людей на фото.

Что? Где? Когда? Финал осенней серии 2014

Против телезрителей играла команда В. Сиднева.

Первый раунд.
Скоро фасады павильонов на Выставке достижений народного хозяйства станут не менее красивыми, чем были в 1939 году, когда была открыта Выставка. Тогда отсюда были хорошо видны скульптуры тракториста и колхозницы, памятники Ленину, Сталину и Чапаеву. А вот главного героя рисунка Константина Ротова, созданного в то время, здесь никогда не было. Посмотрите на рисунок и скажите кому несут свидетельства своих достижений эти люди. Назовите фамилияю, имя и отчество человека, которого от вас скрыли.

Ответ
Николай Алексеевич Некрасов - автор поэмы "Кому на Руси жить хорошо".

Знатоки ответили неправильно. Счёт 0-1.

Второй раунд.
"Всегда открыто, всегда закрыто". Такой рекламный слоган появился в 1899 году на здании одного из ресторанов на Таймс-сквер. Что впервые там было установлено?
Ответ
Вращающиеся двери.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-1.

Третий раунд.
Одно кафе в Германии разместило у входа такое приглашение: "Добро пожаловать! Присаживайтесь за столики. Меню у нас нет. Вам подадут то, чего вы заслуживаете." Какое иностранное, но понятное каждому слово подобрали хозяева для названия своего кафе?
Ответ
Карма.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Какая группа больше?

Распределим все целые числа от 0 до 123456 в две группы. В первую группу будут попадать числа, сумма цифр которых чётная. Во вторую же группу будем добавлять числа с нечётной суммой цифр. В какой группе чисел будет больше?
update: первым правильно ответил Влад.

Ответ

Во второй.

Немного статистики.
Как из цифр составить простое число?

Что? Где? Когда? Третья игра осенней серии 2014

Против телезрителей играла команда А. Супрановича.

Первый раунд. Чёрный ящик.
В чёрном ящике находится изделие из полимерного материала, которое выпускается ещё с советских времён. В народе некоторые полагают, что на этих предметах выдавлено их название, а на самом деле это лишь название города, в котором расположен завод, где эти изделия выпускают. Что в чёрном ящике?
Ответ
Шлёпанцы. Название города - Сланцы.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-0.

Второй раунд. 13-й сектор.
Возле какого памятника в Москве не принято назначать любовные свидания и почему?
Ответ
У памятника Гоголю, который сам остался холостяком на всю жизнь и, стало быть, может сглазить брачный союз.
Знатоки ответили неправильно. Счёт 1-1.

Третий раунд.
Вернувшись с одного мероприятия поэт Сергей Крыжановский написал:
"Тьма сгустилась в плоскости своей.
Как же ей, залётной, ненавистен
Слишком стойкий смысл богатырей
Васнецовско-врубелевской кисти."
Что же посетил поэт?
Ответ
Выставку художника Казимира Малевича.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Что? Где? Когда? Вторая игра осенней серии 2014

Против телезрителей играла команда Б. Касумова.

Первый раунд.
Вот эти два, можно сказать, чехольчика телезритель купил в деревенском магазине на острове Пханган в Таиланде. Кого готовят с помощью этой экипировки?

Ответ
Боевых петухов. Это чехлы, которые надевают на клювы птиц во время тренировок.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-0.

Второй раунд.
Вопрос №1.
Кого имел в виду поэт Игорь Губерман, когда написал: "Свояк в свояка целит наверняка"?
Ответ
Пушкин и Дантес. Они были мужьями сестёр Гончаровых.
Знатоки ответили правильно.

Вопрос №2.
В письме Вяземскому в 1825 году Пушкин писал о встрече со своим лицейским приятелем Александром Горчаковым: "Он ужасно высох. Впрочем, так и должно. Нет этого у нас на севере. Мы или сохнем или гниём." Чего же мы не достигаем?
Ответ
Зрелости.
Знатоки ответили правильно.

Вопрос №3.
В письме Вяземскому в том же 1825 году Пушкин писал: "Из Пскова написал тебе уморительное письмо, да сжёг. Тамошний архиерей отец Евгений принял меня как ...". Закончите Пушкина.
Ответ
"... как отца Евгения (Онегина)".
Знатоки ответили неправильно. Счёт 1-1.

Третий раунд. Чёрный ящик.
В чёрном ящике находится предмет, который в немецком, английском, итальянском и многих других языках дал имя тому, у чего в русском языке имени нет. Что в чёрном ящике?
Ответ
Кольцо.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Три цвета

Продолжение темы разноцветных точек на плоскости. Задача посложнее. На этот раз дана плоскость, каждая точка которой может быть зелёной, красной или синей. Требуется доказать, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно 1 см.

update

Первый - Илья.
Ответ

Доказательство от противного. Допустим, что таких точек нет. Рассмотрим вершины правильно треугольника ABC со стороной 1 см. Исходя из нашего предположения они должны быть разных цветов. Далее на стороне BC построим ещё один правильный треугольник и получим вершину D. Полученная точка D должна быть одного цвета с A, иначе наше начальное предположение неверно и две точки на расстоянии 1 см были бы найдены (B и D или C и D). Аналогичные рассуждения можно провести для всего множества правильных треугольников с одной из вершин в точке A. Полученное при этом множество точек аналогичных D будет лежать на окружности и иметь цвет одинаковый с А. Но на этой окружности всегда можно найти две точки, расстояние между которыми равно 1 см. То есть наше изначальное предположение неверно и искомые точки существуют.

Простое

Как, используя каждую цифру от 1 до 9 только один раз, составить девятизначное число, которое было бы простым?

update

Первый - Илья.
Ответ

Простого числа в результате перестановок не получится, так как сумма всех цифр равна 45, а значит составленное из них число будет делиться на 3 и 9.

И ещё две задачи с девятью цифрами:

Выражение равно 1.

Дробь равна 1/3.