Странная дуэль

Проверка знаний теории вероятности.
Две пули вложены в произвольно выбранные гнезда шестизарядного револьвера, четыре гнезда оставлены пустыми. Барабан револьвера прокручивается один раз - перед началом дуэли. Каждый дуэлянт делает не более одного выстрела в себя из этого револьвера. При трагическом исходе для стрелявшего в себя первым, второй дуэлянт, не делает своего выстрела. Вероятность остаться в живых для первого дуэлянта определяется легко и равна 2/3. На сколько больше вероятность благоприятного исхода для второго дуэлянта?

update

Первым правильно ответил sentpim.
Ответ

1/15.
Если стреляющий первым остался невредимым (событие А), значит под курком револьвера было пустое гнездо барабана. После чего под курком револьвера появилось либо вновь пустое гнездо (одно из трех), либо - с пулей (одно из двух), и вероятность появления второго пустого гнезда равна 3/5. Но событие B - "остаться невредимым стреляющему вторым" - зависимое от появления или не появления предшествующего ему события А, вероятность появления которого P1=P(A)=2/3. Поэтому вероятность появления события С - "второй дуэлянт остался невредимым после того как произошло событие А" - равна P(C)=(2/3)*(3/5)=2/5. Но и это еще не полная вероятность события В, которое наступает также и при трагичном исходе для стрелявшего первым, - его вероятность равна 1/3. Эта вероятность прибавляется к вероятности P(C)=2/5. Итак, P(B)=(2/5)+(1/3)=11/15, что больше P(A)=2/3 на 1/15.

Поле чудес.

Шансы

Дана обычная игральная кость. Спорят два друга. Первый бьется об заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, он упадет единицей кверху только один раз. Второй же утверждает, что единица при таком количестве бросков либо совсем не выпадет, либо же выпадет больше одного раза. У кого из друзей больше шансов выиграть спор?

update

Первым правильно ответил TheTriomo.
Ответ

При четырех бросаниях число всевозможных положений игральной кости равно 6^4=1296. Допустим, что при первом бросании выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всевозможных положений кубика, благоприятных для первого игрока (то есть число выпаданий любых очков, кроме единичного), равно 5^3=125. Для первого игрока также возможно 125 благоприятных расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125*4=500 различных возможностей того, что единичное очко при четырех бросаниях появится один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей имеется 1296-500=796. Видно, что у второго игрока шансов выиграть больше.

100 разноцветных шаров

Задачка должна быть известная, так как взята из книги Паундстоуна "Как сдвинуть гору Фудзи?" Имеется два сосуда и 100 шаров: 50 красные и 50 синие. В случайном порядке выбираете один из двух сосудов, из которого затем случайно выбирают и достают один шарик. Каким образом распределить шарики по сосудам так, чтобы вероятность достать красный шарик была максимальной? Важное условие: все сто шариков нужно положить в сосуды. Какая максимальная вероятность у вас получилась?
Предыдущие задачи из этой книги:
Как убежать от гоблина?
Про подвесной мост.
Про бикфордовы шнуры.

Поле чудес

На вращающемся барабане (наподобие игры "Поле чудес") есть 6 секторов: 2 приза (П) и 4 банкрота (Б). Расположены они как показано на рисунке. Вам нужно получить приз, то есть попасть на сектор П. Далее обозначения секторов от вас закрывают и вы вращаете барабан. Вам показывают выпавший сектор - это Б. Но не все потеряно, ведущий вам предлагает два варианта на выбор:
1) Вращать барабан еще раз и выпавший вторым результат уже будет считаться окончательным;
2) Открыть следующий по часовой стрелке сектор и его считать окончательным результатом.
Какой вариант вы выберите?

Стоит ли менять свой выбор?

Отличная математическая задача из фильма "Двадцать одно". Суть в следующем. Вы участник телешоу. Даны три двери. За одной из них находится автомобиль, за двумя другими - самокаты. Если угадываете где автомобиль, то вы становитесь его обладателем. Вы наугад выбираете дверь, например первую. Но ведущий не спешит ее открыть. Вместо этого он открывает дверь №3, за которой находится самокат, и спрашивает вас: "Вы по-прежнему хотите открыть дверь №1?" Спрашивается, стоит ли менять свой выбор? Сможете ли математически это обосновать?

Фильм, фильм, фильм

Допустим, некий киноман живет в Москве недалеко от станции метро "Измайловская". Ближайшие от его дома кинотеатры "Родина" (рядом с "Семеновской") и "Первомайский", расположенный около одноименной станции метро. Когда киноман едет в "Родину", то садится на поезд, идущий в центр. Когда же он едет в "Первомайский", то садится в поезд, приходящий из центра. Предположим, что оба кинотеатра нравятся этому человеку одинаково и при выборе места просмотра очередного фильма он садится в первый пришедший поезд метро. Таким образом, в выборе он полагается на случай. Любитель кино приходит на станцию "Измайловская" каждое воскресенье в разное время. Будем считать, что поезда и в центр и из центра ходят с одинаковым интервалом в 5 минут. Но по какой-то причине большинство просмотров приходится на "Первомайский". В среднем из каждых пяти поездок четыре приходится на этот кинотеатр. Требуется объяснить такой солидный перевес.

P.S. Идея задачи позаимствована у М. Гарднера.