Снова про землекопов

Недавно публиковалась задача про землекопов. Вот еще одна.
Два землекопа начали одновременно копать яму. Если бы первый из них копал со скоростью второго, то общее время работы увеличилось бы на 4 часа. А если бы, наоборот, второй копал со скоростью первого, то они бы закончили работу на 1 час раньше. За какое время они выкопают яму?

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
За 2 ч 40 мин.
Пусть землекоп №1 может выкопать x ям за час. Землекоп №2 - kx ям за час. Два одинаковых землекопа №1 могут выкопать яму за 1/2x часов, два одинаковых землекопа №2 могут выкопать яму за 1/2kx часов, а вместе землекопы №1 и №2 выкопают яму за 1/(x+xk) часов. Далее по условию задачи составляем систему уравнений, решив которую получим 1/(x+xk)=8/3 часа.

2000

- Если из задуманного мной числа вычесть сумму его цифр, то получится 2000,- сказал один из приятелей.
- А если к задуманному мной числу прибавить сумму его цифр, то получится те же 2000,- ответил другой.
По-моему кто-то из них ошибся. Определите кто ошибся и какое число задумано тем, кто оказался прав?

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
Ошибся первый. Второй задумал 1981.
Допустим задумано четырехзначное число abcd. Его можно представить в виде abcd = 1000*a + 100*b + 10*c + d. Если вычесть из него сумму его же цифр, то получим 999*a + 99*b + 9*c = 9*(111*a + 11*b + c). Очевидно, что полученное число делится на 9, а 2000 не делится на 9, следовательно, первый ошибся.
Для второго случая число легко находится и равно 1981.

Не очень сложную задачу про гирьки пока не решили, попробуйте.

1665

В записи трех трехзначных чисел участвуют все цифры кроме нуля. В сумме эти три числа дают 1665. Далее в каждом числе меняют местами первую и последнюю цифры. Получается три новых трехзначных числа. Спрашивается, чему будет равна их сумма?

update

Первым правильно ответил Waleriy.
Ответ
1665.
Сумма трех разных цифр не может быть равна 5 (1+2+3=6 - много) или 25 (7+8+9=24 - мало). То есть сумма первых трех цифр в исходных числах будет равна 15. Но тогда и сумма вторых и сумма третьих цифр будут равный 15. Следовательно, если поменять местами первые и последние цифры, то сумма новых чисел останется той же.

Мороженое

Простая задача. Три друга увидели палатку с мороженым и захотели купить по эскимо. Первому не хватает 18 рублей. Второму на то же мороженое не хватает 10 рублей, а третьему - 7 рублей. Если второй и третий сложат свои деньги, то смогут ли они купить одно мороженое?

update

В этом блоге первым правильно ответил Waleriy, в твиттере - smirik.
Ответ
У второго приятеля есть минимум 8 рублей. Если он добавит эти деньги третьему (которому не хватает 7 рублей), то они смогут купить мороженое.

Еще одна простая задачка про мороженое.

Про землекопов

Четыре землекопа выкопали яму за 3 часа. Если бы первый землекоп копал вдвое быстрее, а второй - вдвое медленнее, то общее время работы не изменилось бы. А если бы первый копал вдвое медленнее, а второй - вдвое быстрее, то общее время работы сократилось бы на 1 час. За какое время выкопали бы яму первые три землекопа без помощи четвертого?

update

Первым землекопов вывел на чистую воду Эйч.
Ответ
3 часа.
Если обозначить через x1 ту часть всей работы, которую выполняет в час первый землекоп, а через x2, x3 и x4 - соответствующие доли остальных землекопов, то можно составить систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 1/3
2*x1 + x2/2 + x3 + x4 = 1/3
x1/2 + 2*x2 + x3 + x4 = 1/2
Неизвестных больше, чем уравнений. Казалось бы, решить систему невозможно. Но если проделать некоторые манипуляции, например, вычесть из второго и третьего уравнений первое, то получим
x1 - x2/2 = 0
-x1/2 + x2 = 1/6
Отсюда x1 = 1/9, x2 = 2/9. Если подставить эти значения в любое из первоначальных уравнений, то получим, что x3 + x4 = 0. То есть третий и четвертый вообще не работали. Соответственно, общее время работы без четвертого землекопа не изменится.

Еще две задачи:
Про напор воды.
Про зоопарк.

Как получить число, которое делится на 27 без остатка

Задача-шутка Сэма Лойда про трех мальчиков с цифрами получила продолжение.

Как должны расположиться изображенные на рисунке дети, чтобы число, образованное из цифр нарисованных на них, делилось на 27 без остатка?

update

Первым правильно ответил Тарас Кожанов.
Ответ
Первому мальчику нужно присесть. Тогда получится 3^16=27*(3^13), которое делится на 27 без остатка.

Сколько лет мне и вам?

Мне вдвое больше лет, чем вам было тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь. Когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет равна 63 годам. Сколько сейчас лет мне и сколько вам?

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
Здесь главное не запутаться в составлении уравнения. Мне 28 лет, вам - 21.

Определить количество детей и их возраст.
Сколько лет брату и сестре?
Каков возраст жильцов дома?

Про напор воды

У дачника имеется две канистры. Вместимость одной 5 литров, а другой - 4 литра. Также на дачном участке имеется два крана - напор из одного сильнее, из другого слабее. Дачник поставил одну канистру под один кран, а другую под другой и включил сразу оба крана. Когда набралась половина меньшей канистры, он поменял канистры местами. К его удивлению, канистры наполнились одновременно. Во сколько раз больше воды дает один кран, чем другой?

update

Первым правильно ответил lostas.
Ответ
В 2 раза.

Таблица умножения

Ученики А, Б, В, Г и Д написали у себя в тетради по одному примеру из таблицы умножения. Интересно, что результат каждого следующего ученика оказался в полтора раза больше предыдущего. Какие числа перемножил Г?

update

Первым правильно ответил Геннадий.
Ответ
6 и 9.

Деньги на ветер

В кошельке лежали купюры в 1, 3, 5 и 10 рублей, причем рублевые купюры составляли половину общей суммы денег. Когда я покупал газету за 16 рублей, ветром унесло 5 купюр. Хватит ли мне оставшихся денег на покупку?

update

Быстрее всех был Waleriy.
Ответ
Денег хватит. Поскольку в кошельке было хотя бы по одной купюре в 3, 5 и 10 рублей, то рублевых купюр было не меньше 18, а всего - не меньше 21. Из них осталось не меньше 16 купюр, следовательно, не меньше 16 рублей.

Зоопарк

Хорошо ли вы знаете животных? Думаю, что у большинства людей верблюд ассоциируется с животным, у которого два горба. Кто-то, может быть, знает, что бывают одногорбые верблюды. Но верблюда без горба, наверное, мало кто может себе представить, хотя есть и такие. А теперь попробуйте ответить на такой вопрос.
Сколько верблюдов и слонов находится в зоопарке, если всего у них 22 губы, а горбов в 8 раз больше, чем хоботов?

update

Первым ответил ovo.
Ответ
10 верблюдов и 2 слона. Нужно учесть, что у слонов только одна губа.

Какое наибольшее число дней барон может произносить фразу?
А вы нашли сову на картинке?

Течение реки

Две моторные лодки встретились у причала и разошлись. Повернув через T=0,5 ч в обратную сторону, они вновь встретились на расстоянии L=2 км от причала. Определить скорость течения реки, если известно, что после поворота скорости лодок относительно воды не изменялись.

update

Первым решил ovo.
Ответ
2 км/ч.
Выбираем систему отсчета связанную с течением. За 1 час, пока моторные лодки ездили туда и обратно, причал плыл со скоростью течения и удалился от точки встречи лодок на 2 км. Поэтому скорость течения = L/(2*T) = 2 км/ч

Задача показалась легкой? Тогда попробуйте более сложные варианты:
Еще одна задача на определение скорости течения реки.
А здесь нужно вычислисть сколько времени сэкономит путешественник.

Число на асфальте

Задача с подвохом. Петя и Коля, встретившись на улице, увидели написанное мелом на асфальте двузначное положительное число. Петя прибавил к нему 4 и затем поделил на 7, а Коля поделил его на 9 и затем отнял 1. Результаты совпали. Какое число было написано?

update

Первым решил задачу lostas.
Ответ
Очевидно, что одно число условиям соответствовать не может. Если же представить, что чисел два, но одно из них получается из другого путем переворота на 180 градусов, то здесь есть один вариант. Петя увидел написанное число как 66, а Коля 99.

Задача из повести Л. Кассиля "Кондуит и Швамбрания"
Про барона Мюнхгаузена

Про барона Мюнхгаузена

Вот уже много лет барон Мюнхгаузен ежедневно ходит к озеру и охотится на уток. Начиная с 1 августа 2009 года он каждый день говорит своему повару: "Сегодня я подбил уток больше, чем два дня назад, но меньше, чем неделю назад". Какое наибольшее число дней барон может произносить эту фразу, если известно, что Мюнхгаузен никогда не лжет?

update

Первым правильно ответил ovo.
Ответ
6 дней.

Кондуит и Швамбрания

Задача из книги Л. Кассиля "Кондуит и Швамбрания".
Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами - 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?

update

Первым решил задачу Эйч.
Ответ
20 и 15 верст в день, соответственно.

Другие литературные задачи и загадки:
Задача из чеховского "Репетитора"
Вопрос про двухвершкового коня из "Тихого Дона"
"Двойник" и изобретение Достоевского

Шахматный турнир

После подведения итогов школьного шахматного турнира оказалось, что две девушки, которые приняли участие в турнире, вместе набрали 6,5 очков, а все юноши - поровну. Сколько школьников участвовало в турнире? Схема игр такая: каждый участник играет с каждым по одному разу, за выигрыш дается 1 очко, за ничью 0,5 очка, за поражение - 0 очков.

Еще одна задача про турнир:
Как сыграли между собой участники?

Встреча

Авторство этой задачи приписывается Льюису Кэрроллу.
Из А в В вышел путник. Одновременно с ним из В в А вышел второй путник. Они шли равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 часов, а второму - 9 часов. Через сколько часов после выхода они встретились?
Еще немного математики:
В порядке возрастания
2010-ая степень
Слоны на водопое

В порядке возрастания

Расставьте числа a=2^45, b=3^36, c=4^27, d=5^18 в порядке возрастания.

2010-ая степень

Если возвести числа 2 и 5 в 2010-ую степень, то какое суммарное количество цифр потребуется для записи результатов? Ответ нужно обосновать.
Окончательного ответа на эту задачу пока нет.

Слоны на водопое

Озеро пополняется водой из родников. Стадо из 183 слонов осушает это озеро за 1 день. Стаду из 37 слонов требуется уже 5 дней на то, чтобы выпить полное воды озеро. За сколько дней опустошит озеро один слон?
Напомнило задачу про коров на лугу.