Тест

В своих книгах Нассим Талеб часто приводит интересные задачи. В "Одураченных случайностью" он рассказывает о задаче, которую большинство медиков решает неправильно.
Тест на наличие заболевания дает 5% ошибочных положительных результатов. Заболевание поражает 1/1000 популяции. Люди проходят тест случайным образом, независимо от того, есть ли подозрение на заболевание. Тест пациента положительный. Какова вероятность того, что пациент болен?

Другая задача из книги "Черный лебедь".

update

Первым правильно ответил doc.
Ответ

1/51.

Предположим, что из 1000 пациентов, прошедших тест, только один болен. Из оставшихся 999 здоровых пациентов тест покажет около 50 положительных результатов. Искомая вероятность рассчитывается по формуле: (кол-во заболевших)/((кол-во истинных положительных результатов теста)+(кол-во ложных положительных результатов теста))=1/(1+50)=1/51.

4?4=64

Как с помощью двух четверок получить число 64? Использовать можно знаки сложения, вычитания, умножения, деления, квадратного корня и факториала. Также можно использовать возведение в степень.

update

Первым правильно решил Lostas.
Ответ

2 наблюдателя

На шоссе на некотором расстоянии друг от друга стоят два наблюдателя. По шоссе едут с постоянными скоростями три автомобиля марок M, N и K. Мимо первого наблюдателя машины проехали через равные промежутки времени в таком порядке: M, N, K. Мимо второго наблюдателя машины проехали через те же промежутки времени, но в другом порядке: M, K, N. Найдите скорость автомобиля M, если известно, что скорость K равна 60 км/ч, а скорость N равна 30 км/ч.

update

Первым правильно ответил Dorg.
Ответ

40 км/ч.
Пусть t - промежуток времени, через который машины проезжали мимо наблюдателей. Тогда при прохождении M мимо первого наблюдателя расстояние от него до N и K равны соответственно 30t и 120t. При прохождении M мимо второго наблюдателя расстояния до N и до K будут равны 60t, то есть K в этот момент догонит N. Поэтому от момента прохождения M мимо первого наблюдателя до момента его прохождения мимо второго, проходит время 90t/(60-30)=3t.
Пусть v - скорость M. Так как расстояние от K до M во второй момент равно 60t, то (120t-60t)/(60-v)=3t, откуда и получаем, что v=40 км/ч.

Еще две задачи:
Про велосипедиста и пешехода
Про велосипедиста и автобус

Разность двузначных

Допустим, вы записали на листе бумаги двенадцать различных двузначных чисел. Я утверждаю, что всегда смогу выбрать из них два таких числа, что их разность будет записываться двумя одинаковыми цифрами. Прав ли я? Ответ нужно обосновать.

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ

Если двузначное число записано двумя одинаковыми цифрами, то оно делится на 11. При делении на 11 двенадцати разных двузначных чисел обязательно найдутся как минимум два таких, остатки которых будут равны. Следовательно, разница этих двух чисел будет без остатка делится на 11.

Другие головоломки:
3501210210

1, 2, ..., 100

1, 2, ..., 100

Задача из устного тура олимпиады по математике. На доске записаны числа 1, 2, ..., 100. За каждый ход разрешается стереть любые два числа и записать вместо них их сумму или их произведение. Какое наибольшее число может остаться на доске после 99 таких ходов?

update

Первым правильно ответил sentpim.
Ответ

(3/2)*100!

1000 бутылок

Имеются 1000 бутылок с вином. В одной из них вино испорчено. Имеются 10 белых мышей, с помощью которых нужно обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, ровно через 10 минут она приобретает яркую фиолетовую окраску. Разрешается накапать вина из разных бутылок каждой мыши и дать им выпить одновременно, а потом ждать. Придумайте способ, позволяющий через 10 минут и 1 секунду определить бутылку с испорченным вином.

update

Первым правильно ответил Yurko.
Ответ

Пронумеруем все бутылки от 1 до 1000 и напишем на каждой ее номер в двоичной системе счисления; для номеров, меньших 512, допишем слева нули так, чтобы всего на каждой бутылке были написаны десять цифр. Также присвоим каждой мыши номер от 1 до 10 и дадим k-й мыши смесь вина из тех бутылок, на которых k-я цифра - единица. Когда пройдут десять минут, выпишем десять цифр - единицу на k-м месте, если k-я мышь изменила цвет, иначе - ноль. Полученная двоичная запись будет номером испорченной бутылки.

Пока правильных ответов на задачу про шесть гирь не было, попробуйте.

Сумма

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не различаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

Так удастся ли провести прямую, которая будет пересекать не менее 4 окружностей?

update

Первым правильно ответил Yurko.
Ответ

Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По условию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разности дают 50 различных натуральных чисел, которые не превосходят 50, то есть это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51*25, а сумма всех исходных чисел равна 51*25+50*25=2525.

1*******7

В последовательности звездочками обозначены числа. Сумма любых трех соседних чисел в этой последовательности равна 15. Найдите второй член последовательности, то есть число, обозначенное первой звездочкой.

update

Быстрее всех был Grom в твиттере.
Ответ

7.

Поскольку сумма трех последних чисел равна 15, а последнее число равно 7, то сумма шестой и седьмой звездочек равна 8, поэтому пятая звезда равна 7 (ведь сумма пятой, шестой и седьмой звездочек также равна 15). Дальше рассуждаем аналогично и получаем, что вторая звездочка равна 7. Сумма же первых трех чисел также равна 15, поэтому на месте первой искомой звездочки должна стоять 7.

Мудрые ученики

Собрал как-то раз мудрец трех своих учеников и решил проверить их способности к логике. Для этого он предложил им такую задачу. Каждому из трех учеников на лоб приклеил бумажку с натуральным числом. Причем одно из этих чисел являлось суммой двух других. Об этом мудрец и сообщил ученикам. Каждый ученик не видит, что написано на его бумажке, но зато видит, что написано у других. Далее мудрец стал спрашивать по очереди своих учеников: "Что написано у тебя на лбу?" Первый ученик сказал, что не может догадаться, какое число написано у него. Тоже самое ответил и второй ученик, а затем и третий. Тогда первый ученик сказал: "Теперь я знаю, что у меня на лбу написано число 50".

Какие числа у двух других учеников? Естественно мы предполагаем, что ученики очень хорошие логики и при ответе на вопрос анализировали все возможные варианты.

update

Первым правильно ответил KKnop.
Ответ
У второго - 20, у третьего - 30.
Подробные объяснения в комментариях.

Похожие задачи:
Про жильцов дома.
Про детей и их возраст.

a, b, c, n

Простая математическая задачка. Кто быстрее всех найдет четыре натуральных числа (a, b, c и n), для которых выполняются два условия:

Рождественские гуси

Фермер Роуз послал своего работника на рынок со стадом гусей, сказав ему, что он может продать всех гусей или только часть из них, как ему покажется лучшим, ибо он знал, что его работник поднаторел в делах торговли. Вот отчет Джейбза:

"Ну так вот, сперва я продал мистеру Джесперу Тайлеру полстада и полгуся сверх того; потом я продал фермеру Эйвенту треть того, что осталось, да еще треть гуся; затем я продал вдове Фостер четверть остатка и еще три четверти гуся; а когда я возвращался домой, то кого бы вы думали я встретил, если не Нэда Кольера. Мы распили вместе кружку сидра в Барли Моу, где я и продал ему ровно пятую часть того, что осталось, да еще подарил пятую часть гуся. Тех девятнадцати гусей, что я привез назад, мне не удалось сбыть ни за какую цену".

Сколько гусей фермер Роуз послал на рынок? Мои гуманные читатели могут успокоиться, узнав, что при всех сделках ни один гусь не разрезался на части и вообще птицам не причинялось никаких увечий.

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
101.

Команда №5

В футбольном турнире участвовало пять команд. Каждая сыграла с каждой по одному разу. Четыре команды набрали 1, 2, 5 и 7 очков соответственно. При этом за победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Сколько очков набрала пятая команда?

В придачу задача про мастеров спорта.

update

Первым правильно ответил knop.
Ответ

12 очков.

Ясно, что первая команда один раз сыграла вничью, а остальные игры проиграла. На счету второй команды две ничьи и два поражения. Третья команда один раз выиграла, один раз проиграла и два раза сыграла вничью. Четвертая команда победила два раза, кроме того, один раз сыграла вничью и один раз проиграла. В итоге первые четыре команды 3 раза выиграли и 7 раз проиграли. Так как в турнире общее число побед всех команд должно быть равно общему числу поражений, то 4 победы приходятся на оставшуюся пятую команду. Таким образом, она выиграла все свои игры и набрала 12 очков.

11111211111

Может ли число такого вида быть простым?

update

Первым правильно ответил alexander_fil.ru.
Ответ

Число будет составным, потому что его всегда можно разложить на множители следующим образом:

Из A в B

Задача с устного тура олимпиады по математике. Как я понял, решение должно быть простое, без сложных вычислений.

Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между А и велосипедистом. Еще через 15 минут они встретились и продолжили свой путь. Сколько времени пешеход шел до В, если скорости пешехода и велосипедиста постоянны?

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ
5 часов.
Решение в комментариях.

Еще одна олимпиадная задача - про велосипедиста и автобус.

Бегун

Спринтер на соревнованиях обогнал (1/(n-1))-ю часть всех спортсменов. Его же обогнала (1/n)-я часть всех спортсменов. Какое место занял в итоге спринтер, если n-натуральное число, большее 2?

update

Первым правильно ответил birkin.
Ответ
3-е место.
Пусть всего было N спортсменов. Тогда наш спринтер составляет (1/N)-ю их часть.
1/N = 1-(1/n)-(1/(n-1))
N=1+((2n-1)/(n^2-3n+1))
При n=3 получаем N=6, при n>3 в правой части стоит дробное выражение.
Поэтому всего было N спортсменов и наш спринтер занял 3-е место.


Про мастеров спорта.
Про велосипедиста и муху.

Про хоккеистов.

Кузнечик

Кузнечик может прыгать только по прямой либо на 80 см вправо, либо на 50 см влево. Как ему менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
Сделать пять прыжков влево и один прыжок вправо.

Задача про средний балл.
Задача про премию.

HE

Напишите девятизначное число, у которого первая цифра равна количеству НЕ единиц, вторая - количеству НЕ двоек, ..., девятая - количеству НЕ девяток.

update

Первым правильно ответил ovo.
Ответ
999899874

Две обратные головоломки: 1 и 2.

Точность

Будем называть точностью стрельбы отношение числа успешных выстрелов к числу использованных патронов. В соревновании участвовало два спортсмена. Вначале каждому из них выдали по 20 патронов. Соревнование проходило в два этапа. На каждом этапе спортсмен мог использовать любое количество патронов (отличное от нуля). После соревнования возникли трудности с определением победителя. Оказалось, что на каждом этапе точность первого спортсмена была выше точности второго. Но по общему результату точность стрельбы второго спортсмена оказалась выше. Как такое могло получится?

update

Первым правильно ответил birkin.
Ответ
Например, так:
на первом этапе точность первого спортсмена 6/14, точность второго 4/10;
на втором этапе точность первого спортсмена 5/6, точность второго 8/10.

3501210210

В записи десятизначного числа использованы все 10 цифр. Начав слева, вместо каждой цифры этого числа записали число цифр, которые меньше нее и расположены справа от нее. Получили 3501210210. Каким было первоначальное число?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

3602541987


Математические головоломки:
Стертые числа.
Невозможное простое число.
В порядке возрастания.

Электрички

Пешеход шел вдоль железнодорожного полотна со скоростью u=4 км/ч. Он заметил, что по путям шли две встречные электрички, одна из которых составлена из N1=9 вагонов, а другая - из N2=10 вагонов. Пешеход обратил внимание на то, что головные вагоны поравнялись друг с другом как раз напротив него. Но самым интересным было то, что и последние вагоны разошлись тоже строго напротив него. С какой скоростью ехали электрички, если считать, что их скорости равны?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
v = u*(N2+N1)/(N2-N1) = 76 км/ч.

Еще одна олимпиадная задача про велосипедиста и автобус.