Упростить

Если известно, что a, b и c - различные числа, то как можно упростить это выражение?

На всякий случай замечу, что это не проверка того как вы умеете приводить дроби к общему знаменателю и раскрывать скобки :)

update

Первый - Илья.
Ответ

При значениях x, равных a, b и c, данное выражение равно 1. Значит, оно равно 1 тождественно, так как квадратный трёхчлен не может иметь более двух корней.

Похожие:
(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)
sin(α)*sin(β)*sin(γ)*...*sin(ω)

Слитки

Масса одного слитка равна 2 кг, другого - 3 кг. Процентное содержание серебра в этих слитках разное. Каждый слиток можно разрезать на два, то есть получить в общей сложности четыре слитка. Каким образом следует разделить исходные слитки, чтобы в итоге из них получить два новых слитка массой 1 кг и 4 кг с равным процентным содержанием серебра?

update

Первый - Fred.
Ответ

Допустим, что нужно было бы получить пять слитков по 1 кг с равным процентным содержанием серебра. Очевидно, что в этом случае нужно разрезать каждый из исходных слитков на пять равных частей (по 0,4 кг и 0,6 кг) и из соответствующих пар сделать слитки. Следовательно, если первый слиток разделить на куски 0,4 кг и 1,6 кг, второй - на 0,6 кг и 2,4 кг, мы получим два слитка весом 0,4+0,6 = 1 кг и 1,6+2,4 = 4 кг с равным содержанием серебра.

Похожее - задача про смеси.

Смесь

Имеется две емкости вместимостью 1 л и 2 л. Из содержимого этих емкостей можно сделать 0,5 л смеси, которая будет на 40% состоять из апельсинового сока, и 2,5 л смеси, с 88% апельсинового сока. Каково процентное содержание сока в емкостях?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

40% и 100%.
Из условий понятно, что в одной ёмкости крепость смеси не более 40%. Также очевидно, что в 2,5 л должно быть 0,5 л более слабой смеси. Следовательно, процентное содержание сока в полученных 2,5 л смеси не может превышать ((0,5*0,4+2)/2,5)*100% = 88%. То есть в первой ёмкости была 40% смесь, а во второй - 100%.

После этого попробуйте разобраться со сплавами.

Без вычислений

Продолжите последовательность:

101, 112, 131, 415, 161, 718, ...

Без сложных математических вычислений.

Ещё - 1, 11, 21, ..., 3112, 211213, 312213, 212223, ...

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

192. Последовательно выписаны целые числа, начиная с 10, а запятые расставлены через 3 цифры.

Обгоны

Из точек А и В одновременно навстречу друг другу начали двигаться два объекта. Как только какой-то из объектов оказывается в точке А или В, он меняет направление своего движения на противоположное. Объект, первоначально начавший двигаться из А, преодолевает расстояние АВ за 101 секунду. Другой объект то же расстояние преодолевает за 201 секунду. По прошествии 2*101*201 секунд каждый объект окажется в исходной точке. Затратами времени на развороты и обгоны пренебрегаем, абсолютные значения скоростей обоих объектов постоянны. Какое количество раз за это время первый объект обгонит второй?

update

Первый - svarog-777.
Ответ

100.
Можно рассматривать дорогу, как окружность, по которой движутся объекты в одном и том же направлении не меняя скоростей. Первый объект проходит окружность за 2*101 с, второй - за 2*201 с. Пусть x1 и x2 - скорости объектов, L - длина "окружности". В системе отсчёта относительно второго объекта, первый начинает двигаться из противоположной точки со скоростью x1-x2 и заканчивает движение там же. Число обгонов можно посчитать следующим образом:
2*101*201*(x1-x2)/L = (2*101*x1/L)*201 - (2*201*x2/L)*101 = 201-101 = 100

Про быструю почту.

13

Как с помощью четырёх четвёрок и знаков алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение квадратного корня, факториал, возведение в степень) получить число 13?

update

Быстрее всех был 67108864.
Ответ

Один из вариантов: 4!/sqrt(4)+4/4, где sqrt - обозначение квадратного корня.

Похожие головоломки: +=2345 и 64 из двух четвёрок.

Деление

В этом криптарифме одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры. Расшифруйте его.

update

Первый - Константин Кноп.
Ответ

3125:25=125.

Ещё один пример с делением.

100!

На сколько нулей будет оканчиваться число 100! после перемножения всех сомножителей? Приветствуются ответы с объяснениями.
Как с помощью двух четверок получить 64?

update

Первый - 67108864.
Ответ

24.
Количество нулей будет равно количеству чисел 10 среди множителей. А так как 10 равно произведению 5 и 2, то искомое число нулей будет равно наименьшему из следующих двух чисел: числа множителей 2 в разложении 100! на простые множители и числа множителей 5 в этом же разложении. Ясно, что двоек будет больше, чем пятёрок. Число 100! содержит 20 чисел кратных 5, среди которых четыре числа кратны 25=5^2 (это 25, 50, 75 и 100). Таким образом, 100! оканчивается на 20+4=24 нулей.

Девятки

Возведение в степень числа на рисунке начинается "сверху". То есть сначала 99 возводится в 9-ую степень, потом 999 и так далее. На какую цифру будет оканчиваться число после вычисления всех степеней?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

9.

И ещё - про сумму степеней.

Красный и зелёный

На участке дороги расположены один за другим два одинаковых светофора. У светофоров по два сигнала: красный и зелёный. Промежуток времени, когда горит зелёный свет, составляет 2/3 всего времени работы светофора. Если автомобилист, двигаясь с обычной скоростью, проезжает на зелёный свет первый светофор, то в трёх случаях из четырёх и у второго светофора горит разрешающий сигнал. Какова вероятность того, что на втором светофоре будет гореть красный сигнал, если автомобилист проедет на красный первый светофор?

update

Первый - TheTriomo.
Ответ

1/2.
Всего возможно четыре комбинации сигналов светофоров:
* оба зелёные (вероятность p1);
* первый - зелёный, второй - красный (вероятность p2);
* первый - красный, второй - зелёный (вероятность p3);
* оба красные (вероятность p4);
Так как каждый из светофоров даёт зелёный свет 2/3 вермени, то
p1 + p2 = 2/3
p1 + p3 = 2/3
Если первый светофор горит зелёным, то вероятность того, что и второй загорится зелёным (когда к нему подъедет автомобилист), равна 3/4:
p1/(p1 + p2) = 3/4
И четвёртое уравнения для системы:
p1 + p2 + p3 + p4 = 1
Решая получившуюся систему из четырёх уравнений, получаем:
p1 = 1/2
p2 = p3 = p4 = 1/6
Искомая нами вероятность рассчитывается следующим образом:
p4/(p3 + p4) = 1/2

Какую схему турнира выбрать рыцарю?

Турнир

Для вступления в орден Золотого руна рыцарю нужно выиграть турнир. Он должен провести три боя и одержать как минимум две победы подряд. Претендент может выбрать одну из двух схем турнира:

1) соперник из ордена Подвязки - соперник из ордена Чертополоха - соперник из ордена Подвязки.

2) соперник из ордена Чертополоха - соперник из ордена Подвязки - соперник из ордена Чертополоха.

Известно, что в каждом из орденов рыцари равны по силе между собой. Однако, рыцари из ордена Подвязки сильнее рыцарей из ордена Чертополоха.

Какую из схем турнира выбрать рыцарю, чтобы увеличить свои шансы вступления в орден Золотого руна?

update

Первый - Константин Кноп.
Ответ

Первую схему.
Пусть p1 - вероятность победы над рыцарем Подвязки, а p2>p1 - вероятность победы над рыцарем Чертополоха. Для каждой схемы благоприятными исходами являются три выигрыша, два выигрыша + проигрыш и проигрыш + два выигрыша. То бишь вероятность выигрыша для одной схемы равна p1*p2*p1 + p1*p2*(1-p1)+(1-p1)*p2*p1 = p1*p2*(2-p1), а для другой - соответственно, p1*p2*(2-p2). Поскольку p2>p1, то 2-p2 < 2-p1, и для первой схемы вероятность выигрыша больше.

8 баров

В одном небольшом городе полиция разыскивает преступника. По оперативной информации стало известно, что есть четыре шанса из пяти, что он находится в одном из баров города. Всего в городе восемь баров. Преступник не отдает предпочтение ни одному из них, поэтому может находится в любом. Полиция посетила уже семь баров, но преступник не был обнаружен. Какова вероятность найти его в восьмом баре? Ответ обосновать.

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

1/3.
Преступник находится в одном из восьми баров с вероятностью 4/5. Следовательно, вероятность его пребывания в каком-то конкретном баре равна (1/8)*(4/5)=1/10. Априорная вероятность того, что его не окажется ни в одном из семи баров, равна 1 - 7/10 = 3/10. Отсюда следует, что шансы обнаружить преступника в восьмом баре (при условии, что его не оказалось в семи предыдущих) равны (1/10)/(3/10)=1/3.

Беспокойный экзамен.

Сумма степеней

Чему равна сумма?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

2^(n+1) - 2.
Рассмотрим выражение в двоичной системе счисления. Искомая сумма будет записана с помощью n единиц и одного нуля. Если прибавить к нашей сумме ещё две единицы, то получится число, состоящее из одной единицы и n+1 нулей (в десятичной системе 2^(n+1)). Следовательно, наше выражение будет равно 2^(n+1) - 2.

И что больше?

Экзамен

На одной скамейке сидят шесть студентов и письменно готовят ответы на экзаменационные билеты. По обе стороны этой скамейки есть проходы. В случайном порядке студенты заканчивают отвечать на вопросы, после чего сдают работу и уходят. Найдите вероятность того, что кому-то из экзаменующихся придётся побеспокоить кого-нибудь из оставшихся пяти товарищей для того, чтобы выйти из-за парты.

update

Первый - 67108864.
Ответ

43/45.
Для шести студентов вероятность того, что первому закончившему отвечать на вопросы не придётся никого беспокоить равна 2/6. Для пяти студентов эта вероятность равна 2/5 и т.д. Вероятность же того, что кому-то придётся побеспокоить кого-то из остальных равна
1 - (2/6)*(2/5)*(2/4)*(2/3) = 43/45.

Стоит ли менять свой выбор?

На отлично

В ходе проверки успеваемости учеников школы выяснилось следующее:

69% на "отлично" знают физику;

74% на "отлично" знают литературу;

81% на "отлично" знают математику;

88% на "отлично" знают историю;

О каком проценте учеников заведомо можно сказать, что они на "отлично" знают все четыре предмета?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

12%.
Предположим, в школе всего 100 учеников. На этих учеников нужно распределить 69+74+81+88=312 оценок. При равномерном распределении на каждого ученика придётся по 3 оценки и ещё 12 оценок окажутся "лишними". Следовательно, как минимум 12 учеников являются отличниками по всем четырём предметам.

Про средний балл.

Нерешение

Дано уравнение: 187x - 104y = 41. Известно, что одна из перечисленных ниже пар не является решением этого уравнения:

1) x=3, y=5;

2) x=107, y=192;

3) x=211, y=379;

4) x=314, y=565;

5) x=419, y=753.

Определите без вычислений какая именно.

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ

Поскольку разность двух членов, стоящих в левой части уравнения, равна нечетному числу 41, то один из этих членов должен быть нечётным, а другой чётным числом. Так как 104y чётно, то 187x нечётно, а значит, нечётен x. Следовательно, пара x=314, у=565 не удовлетворяет нашему уравнению.

Может ли такое число быть простым?

ABCXYZ

Определите, какую цифру изображает каждая буква. Криптарифм решается без перебора вариантов.

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

ABCXYZ=461538.
Пусть ABC=m, XYZ=n; тогда
7(1000m+n)=6(1000n+m)
6994m=5993n
538m=461n
Так как в последнем равенстве коэффициенты взаимно просты, то получаем m=ABC=461 и n=XYZ=538.

СНЕГ

ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ

Кубок

В турнире участвуют 64 игрока. Играют по кубковой схеме, когда проигравший выбывает из турнира, а победитель поединка проходит дальше. Положение игрока в турнирной лестнице определяется жребием. Допустим, лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь всегда выигрывает у всех остальных. Второе место в турнире занимает проигравший в финале. Какова вероятность, что второе место в турнире займёт второй по мастерству игрок?

update

Первым был Илья.
Ответ

32/63.
Второй по мастерству игрок может занять второе место, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком. Если в турнире всего 2^n игроков, то в половине лестницы 2^(n-1) ступеней. А число не занятых лучшим игроком начальных ступеней равно (2^n)-1. Таким образом, искомая вероятность рассчитывается как
P=(2^(n-1))/((2^n)-1)=32/63.

>34

На гранях игральной кости изображены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5. Кость подбрасывают, а выпавшие очки прибавляют к общей сумме. Подбрасывания продолжаются до тех пор, пока эта сумма не станет больше 34. Чему, вероятнее всего, будет равна эта сумма?

update

Первый - Илья.
Ответ

Рассмотрим предпоследний бросок. После него общая сумма может быть равной 34, 33, 32, 31 или 30. Если она равна 34, то после последнего броска равные шансы имеют итоговые значения 35, 36, 37, 38 и 39. Если сумма равна 33, то итог может быть равен 34, 35, 36, 37 или 38. И так далее. Ясно, что наиболее вероятный вариант 35.

И ещё одна задача с игральной костью.

Снежный ребус

Каждая буква единственным образом представляет цифру. Математическая смекалка поможет значительно сократить перебор вариантов.

update

Первым был Дмитрий, подробное решение - Dendr.
Ответ

5169=377337/73.

Исходную дробь можно преобразовать в выражение: OXXOOX/XO = 100 + OX(10001)/XO.

Далее выясняем, что 10001=73*137. Так как 10001 - пятизначное, то XO должно делиться на один из его делителей, откуда XO=73. Остальное вычисляется просто.

Ещё два ребуса:
БАОБАБ
ГОЛОВОЛОМКА