100 монет

На столе лежат монеты в количестве 100 штук на общую сумму 5 рублей. Среди них встречается три разных номинала: 1 копейка, 10 копеек и 50 копеек. Сколько монет каждого достоинства лежит на столе?

update

Первый - Илья.
Ответ

1 коп. - 60 шт.; 10 коп. - 39 шт.; 50 коп. - 1 шт.
Пусть X, Y и Z - количество монет достоинством в 1, 10 и 50 копеек, соответственно.
Получаем:
X+Y+Z=100
X+10Y+50Z=500
Откуда:
9Y+49Z=400
Видно, что число полтинников (Z) меньше 10. Единственным числом меньшим 10, для которого значение 400-49Z делится на 9, будет 1. То есть Z=1. Из начальных уравнений получаем: Y=39, а X=60.

И ещё одна задача про монеты.

Скорость поезда

Человек начал переходить по рельсам железнодорожный мост и уже прошёл 3/5 моста, когда увидел приближающийся поезд. Он побежал в сторону приближающегося поезда и успел достигнуть берега в момент, когда локомотив начал заезжать на мост. Интересно, что если бы он побежал в другую сторону, то мог достичь противоположного берега как раз в тот момент, когда локомотив съезжал бы с моста. Скорость человека постоянна и равна 20 км/ч. Скорость поезда тоже постоянна. Чему она равна?

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

100 км/ч.
Разница в расстояниях от места начала движения человека до берегов равна 1/5 длины моста. За время пока человек проходит это расстояние локомотив успевает проехать весь мост. То есть скорость локомотива в пять раз больше скорости человека и равна 100 км/ч.

Определите длину и скорость поезда.

Два оранжевых

В коробке лежат четыре шара. Среди них один белый, один чёрный и два оранжевых. Ведущий наугад вытаскивает два шара, смотрит на них и говорит, что по крайней мере один из них оранжевый. Какова вероятность того, что и второй шар будет оранжевым?
update. Первый - Andrew Antonets.
Ответ

1/5.
Из коробки могут быть вытащены шесть разных пар: О1-О2, О1-Б, О1-Ч, О2-Б, О2-Ч, Б-Ч. Так как известно, что один из шаров оранжевый, то последнюю пару исключаем. Остаётся пять пар и только в одной из них два оранжевых шара. Следовательно, искомая вероятность равна 1/5.

Сколько шаров каждого цвета лежит в корзине?

Статистика

Министерство социального развития одной вымышленной страны собрало воедино данные о браках всех мужчин и женщин этой страны (когда-либо живших и живущих сейчас) и опубликовало следующую статистику:

Никогда не был женат/замужем: 6823041 человек;
Женат/замужем один раз: 7354016 человек;
Женат/замужем дважды: 1600897 человек;
Женат/замужем трижды: 171013 человек;
Женат/замужем четыре раза: 2682 человека;

Всё ли сходится в этой статистике?

update

Первый - Dendr.
Ответ

Общее количество людей, которые женаты/замужем нечетное число раз, должно быть четным, так как в брак вступают парами. В статистике же: 7354016+171013=7525029. Следовательно, здесь есть ошибка.

Какой из ответов на вопрос теста будет правильным?

Поросята

Среди старых счетов найдено упоминание о том, что 72 поросёнка были куплены за ?67 рублей и 9? копеек. Первая и последняя цифры стоимости оказались неразборчивыми. Восстановите их и определите цену одного поросёнка.

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Стоимость всех поросят 367 руб 92 коп. Цена одного - 5 руб 11 коп.
Вспоминаем признаки делимости на 8 и 9, так как 72=8*9.

16 шариков

В корзине лежат 16 шариков. Некоторые из них белые, другие - чёрные. Из корзины вытаскивают наугад два шарика. Известно, что вероятность появления двух шариков одинакового цвета равна вероятности появления шариков разных цветов. Сколько шариков каждого цвета лежит в корзине?

update

Первый - Илья.
Ответ

6 белых шаров и 10 чёрных, или наоборот.

Успеть на паром

Два туриста хотят успеть на паром, который отплывает ровно через три часа и находится в 33 км от места их пребывания. В этом им может помочь местный житель на мопеде, который тоже хочет попасть на паром. Но двоих пассажиров мопед не вмещает. Скорость мопеда с одним водителем - 25 км/ч. Скорость мопеда с водителем и пассажиром - 20 км/ч. Каждый из туристов может идти со скоростью 5 км/ч. Как всем успеть на паром?

update

Первым решил задачу Fred.
Ответ

Первый турист и местный житель проезжают 24 км за 6/5 ч, оставшиеся 9 км до парома первый турист проходит пешком за 9/5 ч. Высадив первого туриста, водитель возвращается за вторым, который идёт пешком. Второй турист, до того как за ним приезжает мопед, проходит 9 км за 9/5 ч. Далее водитель со вторым туристом едут 24 км до парома за те же 6/5 ч. В итоге все успевают на паром вовремя.

Расстояние-время-скорость: чему равно расстояние между постами ДПС?

Три карточки

В мешке находятся три карточки. У одной из них обе стороны белые; у другой - обе стороны чёрные; у третьей - одна сторона белая, другая - чёрная. Из мешка наугад вытаскивается одна карточка и кладётся на стол. Сторона, которая обращена к зрителю оказывается чёрной. Какова вероятность, что и другая сторона у этой карточки тоже чёрная?

update

Первый - Илья.
Ответ

2/3.

Игральная кость и вероятность - какая сумма получиться скорее всего?

Бесконечные дроби

Небольшая проверка школьных знаний. Требуется разделить 8,0(48) на 0,0(04). Интересно, что ответ здесь легко угадывается, а вот способ решения не очевиден.

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

1992.
Один из вариантов решения:
8,0(48) = 8 + 0,048 + 0,00048 + ... = 8 + S1
0,0(04) = 0,004 + 0,00004 + ... = S2
S1 и S2 - бесконечно убывающие геометрические прогрессии с q = 0,01.
S1 = 0,048/(1-0,01) = 48/990
S2 = 0,004/(1-0,01) = 4/990
8,0(48)/0,0(04) = (8+S1)/S2 = 1992

Заодно решите уравнение и упростите выражение.

0123456789

С помощью набора цифр от 0 до 9, каждая из которых используется только один раз, и знаков арифметических действий нужно составить выражение равное 1.

update

Быстрее всех был dander в твиттере.
Ответ

Один из множества вариантов: 9-8+7-6+5-4-3+2-1+0=1

Пара похожих задач:

13 из четырёх четвёрок 

1/3 из набора цифр

4, 4, 4

Изначально на доске были записаны три каких-то числа. Затем с ними проделали следующую операцию: одно из чисел стёрли и вместо него записали сумму двух оставшихся, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили много раз и в результате получили числа 9, 8765 и 4321. Могло ли быть так, что на доске изначально были записаны три четвёрки?

update

Первый - svarog-777.
Ответ

Не могло. Подробности в комментариях.

Вдогонку - задача про необычный калькулятор.

Потомки

У одного короля было трое детей. Известно, что у ста его потомков было по два ребёнка, а у остальных - детей не было вообще. Сколько всего потомков было у короля?

Другие задачи:

Про кубок.

Про авиалинии.

update

Первый - Илья.
Ответ

203.

1/3

Расставьте цифры от 1 до 9 в числителе и знаменателе так, чтобы полученная дробь оказалась равна 1/3. Каждую цифру можно использовать только один раз.

update

Первый - Vit@liy.
Ответ

5832/17496 = 1/3 или 5823/17469 = 1/3.

Другие задачи:
Расставьте между тройками знаки операций ...
Необычный калькулятор.

Посты ДПС

Грузовая машина выезжает из пункта А в пункт Б, после прибытия в Б она разворачивается и едет обратно. Одновременно с грузовой машиной из пункта Б в пункт А начинает движение легковая машина, которая доехав до А разворачивается и следует в Б. Скорости машин постоянны. Первый раз машины поравнялись на расстоянии 55 км от пункта А, второй раз - на расстоянии 85 км от пункта Б. На расстоянии 25 км от пункта Б находится пост ДПС, ещё один пост ДПС находится на некотором расстоянии от пункта А. Выехав из своих пунктов, машины одновременно проехали мимо ближайших постов ДПС. Чему равно расстояние между постами ДПС?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

170 км.

Возможны три случая.
1. К моменту второй встречи машины проехали по одному разу весь путь. Пусть S - расстояние между А и Б. К первой встрече суммарный путь двух машин будет равен S, ко второй - 3S. Грузовая машина проехала 55*3 = 155 км = S+85, то есть S = 80 км. Значит, вторая встреча не могла быть на расстоянии 85 км от пункта Б.
2. Допустим, второй раз грузовая машина догнала легковую. Тогда её скорость должна была превышать скорость легковой более чем вдвое и путь, который проехала легковая машина к моменту первой встречи, был бы менее половины пути грузовой машины, то есть меньше, чем 55*0,5 = 27,5 км, то есть расстояние между пунктами А и Б будет меньше, чем 55+27,5 = 82,5 < 85 км. Этот случай также невозможен.
3. Остаётся случай, когда легковая машина догнала грузовую. Отношение путей, которые проехали машины за равные промежутки времени, постоянно и равно отношению их скоростей, то есть 55/(S-55) = (S-85)/(2S-85). Воспользуемся следующим свойством пропорций: если a/b = c/d, то a/b = (c-2a)/(d-2b). Тогда 55/(S-55) = (S-85)/(2S-85) = (S-195)/25. Следовательно, когда лековая машина проехала 25 км, грузовая проехала S-195 км и оказалась на расстоянии 195 км от пункта Б. Получается, что расстояние между постами ДПС 195-25 = 170 км.

Про расстояние, время и скорость:
Про муху и велосипедистов.
Какое количество раз первый обгонит второго?

Необычный калькулятор

На калькуляторе есть всего две клавиши с нестандартными операциями: 2а+1 и (а-1)/3. При этом вторая операция доступна, если а-1 делится на 3. Как с помощью этого калькулятора из 1 получить 8, выполнив наименьшее число операций?

update

Наименьшее количество операций предложил Andrew Antonets.
Ответ

Из 1 можно получить 8 за 15 операций:
1-3-7-15-31-63-127-42-85-171-343-114-229-76-25-8.

Какая пара не является решением?

10

Расставьте между тройками знаки операций так, чтобы результат вычисления получившегося примера был равен 10.

update

Первый - dbsergey.
Ответ

Один из вариантов.

Похожее - как получить 13 из четвёрок?

Муха

Нашёл хорошее продолжение классической задачи про велосипедистов и муху.

Из городов А и В, расстояние между которыми 50 км, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста. Первый велосипедист (выехал из А) перемещается с постоянной скоростью 30 км/ч, второй (выехал из В) - со скорость 20 км/ч. Одновременно с первым велосипедистом из А вылетает муха и летит до встречи со вторым велосипедистом со скоростью 50 км/ч, затем муха разворачивается и летит к первому велосипедисту со скоростью 40 км/ч. Затем от первого ко второму опять со скоростью 50 км/ч и так далее. Какой суммарный путь пролетит муха до момента встречи велосипедистов?

update

Первым правильно ответил Fred.
Ответ

47,(7) км.
Велосипедисты встретятся через 50/(30+20) = 1 ч. Пусть суммарный путь, который муха пролетела от А к В, равен x (км). Так как велосипедисты встретились в 30 км от А и муха в этот момент находилась в той же точке, то суммарный путь, который муха пролетела по направлению от В к А, равен x-30 (км). Так как муха летела 1 ч, то можно составить следующее уравнение
x/50 + (x-30)/40 = 1
Откуда получаем, что x = 350/9 км, а суммарный путь мухи равен x + (x-30) = 47,(7) км.

Уравнение

Решите уравнение:

update

Первый - 67108864.
Ответ

Ещё немного алгебры:
Найдите x и y в равенстве.
Упростите выражение.

Кубики

В коробке лежит игрушечный кубик, который может быть красным или зелёным с одинаковой вероятностью. В коробку добавляется красный кубик. Затем кубики перемешиваются и наугад извлекается один из них. Он оказывается красным. Какова вероятность того, что оставшийся в коробке кубик тоже красный?

update

Первым правильно ответил Dendr.
Ответ

2/3.
После того как извлекли красный кубик, имеются три равновероятные возможности: остался зелёный кубик (достали тот, который добавили); остался красный кубик (достали тот, который добавили); остался красный кубик (достали тот, который был в коробке). Следовательно, вероятность, что оставшийся кубик красный, равна 2/3.

Про сигналы светофора.

Вместе

Трое землекопов перекапывали участок земли. В самом начале первый землекоп отработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вскопать весь участок. Потом второй землекоп отработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вскопать весь участок. Аналогично поступил и третий землекоп - он отработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вскопать весь участок. В итоге с начала работы прошло 8 часов и весь участок оказался перекопан. Сколько времени потратили бы землекопы на всю работу, если бы работали вместе? Принимаются решения без составления уравнений.

update

Первый - Константин Кноп.
Ответ

3,2 часа.
Пусть одновременно с первым землекопом работают и двое оставшихся. По условию за время работы первого двое других вскопают половину участка. Точно так же, пока работает второй, первый и третий вскопают ещё половину участка, наконец, пока работает третий, половину участка вскопают первый и второй. Следовательно, за 8 часов вместе землекопы вскопают участок и ещё 1,5 такого же участка, всего 2,5 участка. То есть один участок втроём они перекопают за 3,2 часа.

Ещё две задачи про землекопов:
Без помощи четвёртого.
За какое время землекопы выкопают яму?