Маршруты

На рисунке показана сеть дорог в городе N. Точками обозначены дом и офис одного из жителей. Во время движения по дорогам этого города машинам разрешается поворачивать только направо. Утром горожанин выезжает на машине из дома и едет в офис. При этом он успевает сделать четыре поворота направо. Вечером, возвращаясь из офиса домой, он делает всего один поворот направо. Изобразите оба маршрута на рисунке, если известно, что их длины одинаковые.

update

Первый - Илья.
Ответ

Один из возможных вариантов.

Похожее - лабиринт.

Точное время

Каждая цифра на электронных часах появляется на позиции, которая состоит из семи сегментов. То есть всего на таких часах 28 сегментов. Примеры показаний показаны на рисунке. При каком максимальном количестве неработающих сегментов можно будет однозначно определить точное время?

update

Первый - Илья.
Ответ

Испорченными могут быть 13 сегментов.

Ещё одна задача с часами.

Проволока

Кусок проволоки, толщиной которой можно пренебречь, сложили пополам. Затем эту же операцию проделали ещё два раза. После чего все "слои" разрезали в одном месте. Из получившихся кусков случайно выбрали два. Их длины оказались равны 4 см и 9 см. Какой длины был кусок в самом начале? (Есть несколько вариантов ответа).

update

Первым был @arturdubro в твиттере.
Ответ

52 см, 68 см или 88 см.

Про шнурок и вероятность получить узел.

Эликсир

Чтобы приготовить эликсир молодости его нужно начать и закончить готовить в чудодейственные моменты. Чудодейственным называется время, когда число минут равно числу часов на электронных часах. Для того, чтобы такой эликсир молодости стал эликсиром вечной молодости он должен готовится в интервале от 1,5 до 2 часов. Сколько времени готовится эликсир вечной молодости?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

Число часов равно числу минут 23 раза в сутки: 00:00, 01:01, 02:02, ..., 21:21, 22:22, 23:23. В пределах одних суток разница между этими числами равна либо 1 часу 1 минуте, либо 2 часам 2 минутам и т.д. То есть, без перехода через полночь эликсира вечной молодости не получится. Однако, можно начать готовить эликсир в 22:22 и закончить в 00:00 или начать в 23:23 и закончить в 01:01. В обоих случаях на приготовление эликсира уйдёт 1 час 38 минут.

Ещё одна задача с часами

OFF

Свет в комнате включается с помощью шнурка, за который нужно потянуть. При этом яркость циклически меняется при каждом таком переключении (например: "выключено", "ярко", "средне", "выключено" и т.д.). Сколько всего положений у такого переключателя неизвестно, но их точно не больше четырёх. Изначально переключатель находился в положении "выключено". Вы тяните за шнурок, но оказывается, что в доме нет электричества. Вам нужно на некоторое время уехать, но когда вернётесь вы хотите быть уверены, что свет в комнате не будет гореть. Что нужно сделать с переключателем, чтобы он гарантировано оказался выключенным, когда снова дадут свет?

update

Ответ

Нужно потянуть за шнурок ещё 11 раз.

Граф

Разместите цифры от 1 до 8 в кружки на рисунке. По одной цифре в каждый кружок. При этом никакие две последовательные цифры не должны располагаться в кружках связанных одной линией.

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

Похожее - магический квадрат и фишки.

Шляпы

Сто человек стоят в ряду друг за другом лицом в одном направлении. На каждом из них красная или зелёная шляпа, которая выбиралась случайно. Каждый человек видит все шляпы людей, стоящих перед ним, но не видит своей и шляп людей, которые стоят позади него. Начиная с хвоста ряда производится опрос, во время которого каждый по очереди угадывает цвет своей шляпы. При этом участники слышат все предшествующие предположения. Стратегию действий можно обсудить всем вместе заранее. Какое максимальное число людей сможет точно определить цвет своей шляпы во время опроса и как они должны действовать? Естественно, во время опроса каждый называет только цвет и никаких других посланий передать при этом не может.

update

Первый - Илья.
Ответ

99. Ошибиться может только первый отвечающий.
До того, как участники начинают озвучивать ответы, каждый человек должен посчитать красные шляпы перед ним. Если общее число нечетное, то он готовит ответ "красный", иначе - "зелёный". После этого в ожидании своей очереди каждый участник слушает ответы предыдущих отвечающих. Как только он слышит ответ "красный" он как бы переключает свой подготовленный ответ на противоположный. Когда очередь доходит до него, он отвечает сформированный на тот момент подготовленный ответ.

Стрелки

Предположим, что у нас есть часы, минутная и часовая стрелки которых имеют одинаковую длину. Сколько раз в течение суток мы не сможем определить время, при условии, что всегда знаем когда возникла ситуация - до или после полудня?

update

Ответ

264.
Представим себе два циферблата, у которых все стрелки одинаковые. Пусть первые часы работают нормально, а вторые часы идут со скоростью в 12 раз превышающей обычную. В этом случае часовая стрелка быстрых часов всегда будет совпадать с минутной стрелкой нормальных. Так как все стрелки одинаковые, то неоднозначность будет возникать каждый раз, когда на обоих часах будет одинаковая картинка. При этом нужно исключить случаи, когда стрелки совпадают. В период от полуночи и до полудня минутная стрелка быстрых часов сделает 144 оборота, за это же время часовая стрелка обычных часов сделает один оборот. Таким образом, двое воображаемых часов покажут одинаковую картинку 143 раза. В течение этого времени стрелки нормальных часов совпадут 11 раз, поэтому общее число неоднозначных показаний будет равно 143-11=132. За сутки же это число увеличится в два раза, и будет равно 264.

Вирус

На начальном этапе все клетки квадратной сетки размером 10 на 10 делятся на здоровые и заражённые. Но вирус распространяется и на каждом новом этапе клетка становится заражённой, если среди её ортогональных соседей имеется две и более инфицированных клетки. Например, на рисунке белым цветом обозначены здоровые клетки; красным - заражённые; а жёлтым - клетки, которые будут инфицированы на следующем этапе. Каким должно быть наименьшее число заражённых клеток, чтобы инфекции удалось распространиться по всей сетке?

update

Ответ

10.
Периметр зараженной площади на новых этапах не увеличивается. Так как общий периметр сетки равен 4*10=40, то и изначальный периметр всех зараженных клеток должен быть не меньше 40. То есть нам понадобится минимум 10 клеток. Простой пример их расположения - по диагонали сетки.

Как замостить фигуру плитками?

Выборы

Выборы были организованы таким образом, что каждый избиратель писал на своём бюллетене имена N кандидатов. Далее этот бюллетень помещался в одну из N+1 избирательных урн. При подсчёте голосов было отмечено, что каждая урна содержала по крайней мере один бюллетень. Также установлено, что если из каждой урны случайно выбрать по одному бюллетеню, то имя одного из кандидатов обязательно бы присутствовало во всех N+1 выбранных бюллетенях. Докажите, что в этом случае существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

update

Первый - Dendr.
Ответ

Предположим, что нет такого кандидата, чьё имя обязательно будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн. Возьмём произвольный бюллетень в первой урне. В нём перечислено N кандидатов. Обозначим их числами от 1 до N. Исходя из нашего предположения мы теперь может найти во второй урне бюллетень, в котором не будет кандидата 1; в третьей урне найдётся бюллетень, в котором не будет кандидата 2 и так далее. Соберем эти N+1 бюллетеней вместе. Получается, что из каждой урны выбрано по одному бюллетеню, но не найдётся ни одного кандидата, чьё имя присутствовало бы на всех выбранных бюллетенях. А это противоречит условию задачи. Следовательно, наше изначальное предположение неверно. То есть, существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

И ещё - логичные выборы.

Лабиринт

Лабиринт имеет размеры 8 на 8 клеток. Вы находитесь в левом нижнем углу. Выход расположен в правом верхнем углу. За один ход можно переместиться в направлении стрелки в соседнюю клетку. После того, как вы ушли из клетки, направление в ней меняется на 90 градусов по часовой стрелке. Если границы лабиринта мешают двигаться дальше, то вы остаётесь в клетке, а направление в ней поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке и следующий ход можно сделать в новом направлении. Докажите, что из этого лабиринта можно выбраться при любом начальном положении стрелок в клетках.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Предположим, что вы останетесь в лабиринте навсегда. Так как число клеток конечно, то по крайней мере одну из них вы посетите бесконечное число раз. А так как направление в этой клетке меняется после каждого посещения, то все смежные клетки вы также посетите бесконечное число раз. И так далее. Таким образом правую верхнюю клетку вы также посетите бесконечное количество раз. Но в какой-то момент она будет указывать на выход. Следовательно, остаться в лабиринте навсегда нельзя.

Ещё один лабиринт.

105 монет

На столе лежат три кучки монет. В первой - 51 монета, во второй - 49, в третьей - 5. Разрешается либо объединять две кучки в одну, либо разделять группу с чётным числом монет на две одинаковые кучки. Можно ли в результате многократного повторения таких манипуляций получить 105 отдельно лежащих монет? И если можно, то какой должна быть последовательность действий?

update

Первый - Медалист.
Ответ

Нельзя.
Если сложить 51 и 49, то получится 100 и 5 - два числа, делящихся на 5. Любые операции сложения или деления на 2 будут приводить к числам, делящимся на 5, то есть до 1 не добраться. Аналогично при сложении 51 и 5 получаем 56 и 49 - делятся на 7. Аналогично при сложении 49 и 5 получаем 51 и 54 - делятся на 3.

Три этажа

В трёхэтажном здании этажи соединены между собой только лифтом. Известно, что в течение рабочего дня количество посетителей, поднявшихся на третий этаж со второго, равно количеству посетителей, спустившихся со второго на первый. Также известно, что количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. Ночью в здании никого нет. Какая группа будет больше: количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, или количество посетителей, которые поднимаются с первого этажа на третий?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Посетителей, которые поднимаются с первого этажа на второй, больше.
Обозначим количество поездок с этажа на этаж как n12, n13 и т.д.
Разделим все поездки за день на три группы:
(n13+n23) - поездки на третий этаж;
(n31+n32) - поездки с третьего этажа;
(n12+n21) - поездки между первым и вторым этажами.
Отметим, что первая группа равна второй. Также, по условию задачи, количество посетителей, выходящих из лифта на третьем этаже, меньше 1/3 от общего числа людей выходящих из лифта. На основе этих условий можно записать следующее выражение:
(n13+n23)=(n31+n32)<(n12+n21)
А если принять во внимание, что n21=n23, то получим n13<n12

Три цвета

Продолжение темы разноцветных точек на плоскости. Задача посложнее. На этот раз дана плоскость, каждая точка которой может быть зелёной, красной или синей. Требуется доказать, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно 1 см.

update

Первый - Илья.
Ответ

Доказательство от противного. Допустим, что таких точек нет. Рассмотрим вершины правильно треугольника ABC со стороной 1 см. Исходя из нашего предположения они должны быть разных цветов. Далее на стороне BC построим ещё один правильный треугольник и получим вершину D. Полученная точка D должна быть одного цвета с A, иначе наше начальное предположение неверно и две точки на расстоянии 1 см были бы найдены (B и D или C и D). Аналогичные рассуждения можно провести для всего множества правильных треугольников с одной из вершин в точке A. Полученное при этом множество точек аналогичных D будет лежать на окружности и иметь цвет одинаковый с А. Но на этой окружности всегда можно найти две точки, расстояние между которыми равно 1 см. То есть наше изначальное предположение неверно и искомые точки существуют.

Головоломка кузнеца

Для установки одной подковы кузнецу требуется пять минут. Смогут ли восемь кузнецов полностью подковать десять лошадей менее, чем за 30 минут? При этом не стоит забывать, что на двух ногах лошадь стоять не может.

update

Первый - Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Всю работу можно выполнить за 25 минут.

И ещё:
Как бармену составить магический квадрат?
Что вызвало подозрение инспектора?

Как замостить фигуру плитками?

Из прямоугольника размером 7x8 удалили снизу с двух сторон по одному квадрату размером 1x1 как показано на рисунке. Можно ли замостить получившуюся фигуру плитками, состоящими из трёх квадратов и показанных на рисунке с левой стороны? Плитки можно располагать как вертикально, так и горизонтально.

update

Первый - Илья.
Ответ

Нельзя.
Пронумеруем сетку как показано на рисунке. В этом случае в любом из положений плитка будет закрывать три разные цифры. Так как количество цифр не одинаковое, то и замостить полностью фигуру плитками не получится.

В качестве подсказки - задача про шахматную доску и домино.

Кто выиграет?

Собака за один прыжок преодолевает три фута, а кошка за один прыжок перемещается на два фута. Однако, за одно и то же время собака может сделать два прыжка, а кошка три. Животным нужно пробежать по прямой 100 футов и вернуться обратно. Кто выиграет в этом забеге?

update

Первым правильно ответил Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Кошка. Так как собака делает прыжок на три фута, то на отметке 99 ей придётся сделать прыжок до отметки 102 и только потом возвращаться. Кошка же может прыгнуть ровно на отметку 100. Поэтому по сравнению с собакой ей нужно преодолеть меньшее расстояние и она будет у финиша первой.

Точки в узлах

На бесконечной клетчатой поверхности в любых пяти узлах решётки требуется поставить точки таким образом, чтобы середины отрезков, соединяющих попарно каждые две из пяти точек, не попали в узлы решётки. Например, на рисунке данное требование не выполняется. Если соединить две точки, расположенные правее остальных, то середина полученного отрезка попадёт точно в узел решётки. Как можно выполнить это задание?

update

Первый - Влад.
Ответ

Задание выполнить нельзя.
Введём систему координат и сопоставим каждому узлу решётки по паре координаты. Каждый узел может иметь пару только следующих четырёх видов: (чётное, чётное), (чётное, нечётное), (нечётное, чётное) и (нечётное, нечётное). Легко определить, что середина отрезка, соединяющего два любых узла, будет также находится в узле только в том случае, если оба исходных узла имеют пару координат одинакового вида. А так как их всего четыре, то из пяти точек две обязательно будут иметь середину отрезка в узле. И выполнить задание не получится.

Траектория кошки.

И ещё одна головоломка с пятью точками.

Делайте ваши ставки

Наверное все знают передачу "Своя игра" и её правила. Предположим, что трое игроков (назовём их А, Б и В) подошли к финальному раунду со следующими суммами: игрок А набрал 8000, игрок Б - 5700, игрок В - 2700. Начинается финальный раунд и игроки выбрали тему вопроса. Допустим, она оказалась для всех нейтральной, то есть все знакомы с этой темой не очень хорошо, но и не очень плохо. Теперь предположим, что вы в этом трио находитесь на месте игрока Б. Ваша ставка?

update

Ответ

Статья о том, как следует делать ставки:
http://si.alex-utah.org/theory/stakes.html

Хамелеоны

В зоопарк завезли 55 хамелеонов. Из них 13 зелёных, 19 красных и 23 синих. Интересно, что при встрече двух хамелеонов разных цветов они вместе меняют свой цвет на третий. То есть если встретятся зелёный и красный, то оба станут синими и т.д. Может ли получиться так, что в итоге все хамелеоны станут одноцветными?

update: первый - Илья.

Ответ

Может. Например:
(13з, 19к, 23с)
1: Красный+синий (15з, 18к, 22с)
2: Красный+синий (17з, 17к, 21с)
3....19: Зеленый+красный (0з, 0к, 55с).
При желании можно найти решение для общего случая. Оно основано на существовании кратной 3 разницы в количествах хамелеонов.

Про переключатели.