Шнурок

На полу лежит шнурок. В темноте не видно каким образом его части пересекаются в точках A, B и C. Насколько вероятно получить узел, если потянуть за концы этого шнурка?

update

Первый - Илья.
Ответ

1/4.
Представим, что мы двигаемся по шнурку слева направо. Во время движения в каждой из трёх точек можно находится или "над" пересечением или "под" ним. Эти состояния в каждой точке можно обозначить 0 и 1. Всего возможно восемь комбинаций: 000, 001, ..., 111. Из них к узлу приведут только две: 010 и 101. То есть искомая вероятность равна 2/8=1/4.

48 шариков в 30 коробках

Перед вами в ряд выставлено 30 коробок. У вас в наличии есть 48 шариков. Все имеющиеся шарики нужно разложить по коробкам. Их число в коробке может быть произвольным, но в каждой должен оказаться хотя бы один шарик. Докажите, что в итоге найдётся последовательность стоящих друг за другом коробок, суммарное число шариков в которых будет равным 11.

update

Первый - Илья.
Ответ

Запишем на каждой коробке суммарное число шариков в ней и во всех предыдущих. Получим 30 чисел из диапазона от 1 до 48. Далее на каждой коробке запишем ещё по одному числу, которое равно сумме уже написанного и числа 11. Получим ещё 30 чисел, максимальное из которых 48+11=59. Таким образом, мы получили 60 чисел из диапазона от 1 до 59. То есть два каких-то числа будут равны между собой. А равенство двух чисел означает, что в соответствующей последовательности коробок лежит ровно 11 шариков.

Пять точек

Дан правильный треугольник с длиной стороны 6 см. Внутри этого треугольника (включая границы) произвольно выбрали пять точек. Если рассматривать две самые близкие друг к другу точки, то какое максимальное расстояние может быть между ними?

update

Первым доказал Илья.
Ответ

Разделим исходный треугольник на четыре равных правильных треугольника со стороной 3 см как показано на рисунке. Так как маленьких треугольника четыре, а точек пять, то в одном из них будет две точки. Максимальное расстояние между этими точками будет равно 3 см.

Докажите, что найдутся две точки...

... ящерица, Спок

Двое сыграли десять раундов в "камень-ножницы-бумага". Первый игрок за всю игру три раза показал "камень", шесть раз "ножницы" и один раз "бумагу". У второго игрока было два "камня", и по четыре раза "ножницы" и "бумага". Ничьих не случалось. Кто в итоге победил?

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Выиграл первый со счётом 7:3

Рукопожатия

На званом ужине присутствовало пять семейных пар. Среди гостей произошло некоторое количество рукопожатий. Известно, что никакой муж не пожимал руку своей жене и, естественно, никто не пожимал руку сам себе. После мероприятия один из мужей спросил у остальных гостей (включая свою жену) сколько рук они пожали за вечер. На что получил девять разных ответов. Сколько рукопожатий совершила жена того мужа, который производил опрос?

update

Первый - Медалист.
Ответ

4.
Так как на ужине присутствовало 10 гостей и каждый из них не пожимал руку себе и супругу, то максимальное количество рукопожатий, сделанное одним человеком, не превышает 8. Так как все ответы гостей были разными, то они должны находится в интервале от 0 до 8. Допустим один из мужей сделал 8 рукопожатий (если это была одна из жён, то логика не поменяется). Вообще не пожать руку могла только его жена, так как остальные гости пожали ему руку по крайней мере один раз. То есть два человека с ответами 0 и 8 должны быть супругами. Аналогично рассуждая можно показать, что супругами должны быть гости с ответами 1 и 7, 2 и 6, 3 и 5. Методом исключения получается, что жена мужчины, который делал опрос, пожала четыре руки.

Сколько детей было у Альберта?

Два цвета

Все точки бесконечной плоскости имеют один из двух цветов: чёрный или оранжевый. Докажите, что на этой плоскости обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми в точности равно 1 см.

update

Первый - Медалист.
Ответ

Рассмотрим на этой плоскости произвольный равносторонний треугольник с длиной стороны 1 см. Из трёх его вершин две обязательно будут иметь один цвет.

Кто выше?

Рота, состоящая из 200 солдат, выстроилась в 10 рядов по 20 человек в каждом. В каждом ряду выбрали самого низкого солдата, а из выбранных 10 солдат определили самого высокого. Им оказался рядовой Иванов. Далее в каждой колонне выбрали самого высокого солдата, а из выбранных 20 солдат определили самого низкого. Им оказался рядовой Петров. Кто выше, Иванов или Петров?

update

Первый - svarog-777.
Ответ

Петров выше.
Возможны три случая:
1) Сравниваемые солдаты находятся в одном ряду. Тогда Петров выше, так как Иванов самый низкий в своём ряду.
2) Солдаты находятся в одной колонне. Петров выше, так как он самый высокий в своей колонне.
3) Иванов и Петров не находятся ни в одном ряду, ни в одной колонне. Пусть некий солдат N находится в одном ряду с Ивановым и в одной колонне с Петровым. Петров выше N (Петров выше всех в колонне) и N выше Иванова (Иванов самый низкий в ряду). Следовательно, Петров опять выше Иванова.

Дверь

Для того, чтобы открыть дверь показанную на рисунке на четырёх часах нужно выставить определённое время. На циферблатах есть только часовые стрелки. После нажатия на часы их стрелка изменяет своё положение на одно деление (один час). Какое время нужно выставить на каждом циферблате, чтобы пройти на следующий уровень игры?

update

Правильный ответ дал Дмитрий.
Ответ

Переключатели

Вы сидите за квадратным столом в тёмной комнате. В каждом из четырёх углов стола находится по одному переключателю. Каждый переключатель имеет два положения: O и I. Стол может свободно вращаться. И делает это периодически, останавливаясь в произвольном положении. После остановки вы можете выбрать два любых переключателя, определить их положение и изменить состояние либо одного из них, либо обоих, либо оставить их положения без изменений. Два оставшихся переключателя вы не видите и трогать их не разрешается. После чего стол опять вращается и останавливается в произвольном положении. Действия между вращениями стола будем называть ходом. Как только все четыре переключателя будут в одинаковом положении (O или I) в комнате включится свет. За какое минимальное количество ходов можно гарантировано включить свет? И как это сделать?

update

Первым решил головоломку Илья.
Ответ

1. Выбираем два соседних тумблера. Переключаем их в положение I.
2. Выбираем два диагональных тумблера. Один из них обязательно находится в положении I. Если другой O, то переключаем его в I. Если свет после этого не включится, то на столе одно из четырёх положений IIIO.
3. Выбираем два диагональных тумблера. Если один из них O, то переключаем его и свет загорается. Если свет не включился, то переключаем любой из тумблеров I в положение O. После этого на столе возникает одно из четырёх положений IIOO.
4. Выбираем два соседних тумблера. Если они в одинаковом положении, то переключаем оба и включаем свет. Если в разных - переключаем оба на противоположные. На столе возникает одна из двух ситуаций IOIO, то есть на одной диагонали у нас два положения I, на другой - два положения O.
5. Выбираем два диагональных тумблера и переключаем их на противоположные. Свет гарантировано включится.

Как охраннику определить общее количество комнат в здании?

Надгробная плита

На одной из реально существующих надгробных плит был найден такой шифр. Интересны только символы с точками, расположенные полукругом.

Попробуйте отгадать послание. В этом вам поможет следующий ключ.

update

Первый - @arturdubro в твиттере.
Ответ

На плите написано REMEMBER DEATH.
Для определения соответствия между алфавитом и знаками нужно воспользоваться следующей формой.

Ещё одна тайнопись в виде арабской пословицы.

Игра навылет

В футбольном турнире участвуют 25 команд. После каждой игры проигравшая команда покидает турнир, победившая проходит дальше. Ничьих не бывает. Сколько потребуется игр для того, чтобы определить победителя?

update

Первый правильный ответ - 67108864.
Ответ

Быстрее всего вычислить количество игр можно по количеству проигравших команд. Так как 24 команды в итоге должно проиграть, то и игр потребуется 24.

Конверты и вероятность.

Бензовозы

Бензовозы стоят на автобазе и готовятся разъехаться в три пункта назначения. Всего 21 машина. При этом семь из них полностью заполнены бензином, другие семь заполнены наполовину и ещё у семи емкость пустая. В пунктах назначения должно оказаться одно и тоже число машин и одинаковое количество бензина. Как разъехаться машинам по пунктам, чтобы выполнить это условие?

update

Быстрее всех был Дмитрий.
Ответ

Два решения.

В 1-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
Во 2-й пункт: 2 полных, 3 половины и 2 пустых.
В 3-й пункт: 2 полных, 3 половины и 2 пустых.

или

В 1-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
Во 2-й пункт: 3 полных, 1 половина и 3 пустых.
В 3-й пункт: 1 полный, 5 половин и 1 пустой.

Из разного - как за 6 ходов поменять вагоны местами?

7-ка всё портит

Определите закономерность в этой последовательности и найдите число, которое должно стоять вместо знака вопроса.

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

12.
Каждое следующее число в нижней строке получается суммированием цифр двух чисел, от которых приходят стрелки.

Ещё одна последовательность.

Магический квадрат

В каждой из девяти ячеек большого квадрата размером 3x3 лежит по одной фишке с цифрой от 1 до 9. В свою очередь, на каждом из восьми отрезков, которые отмечены пунктиром, лежит по три фишки. Сумма цифр каждой такой триады равняется 15. Переложите фишки так, чтобы они образовали восемь триад, через которые можно было бы провести прямые отрезки, но сумма цифр каждой такой триады равнялась бы 16. При этом в каждой ячейке большого квадрата по-прежнему должно быть по одной фишке.

Ещё две головоломки:

Про астероиды.

Про 16 точек.

Круглое здание

Охранник находится в одноэтажном круглом здании, которое состоит из одинаковых комнат. Из каждой комнаты можно попасть в две соседние. Количество комнат неизвестно. В них охранник может только включать или выключать свет. Изначально свет горит произвольным образом. Как охраннику определить общее количество комнат в здании?

update

Ответ

Охранник включает свет в комнате, которую назовём начальной. Далее идёт в заранее выбранном направлении, например по часовой стрелке, и считает количество пройденных комнат. Как только ему встречается комната с включённым светом, он выключает в ней свет и возвращается к начальной комнате. Горящий в ней свет будет означать, что здание ещё не пройдено по кругу. Охранник повторяет действия - идёт по часовой стрелке до первой комнаты с включённым светом. Если после возвращения в начальной комнате свет выключен, то охранник обошёл здание по кругу и искомое количество комнат в здании будет равно подсчитанному количеству комнат на последнем шаге.

И ещё - головоломка про лабиринт.

В порядке возрастания веса

Три кубика, изображённые на картинке, изготовлены из одного материала и имеют одинаковые размеры. Все отверстия в них сделаны одним и тем же сверлом, перпендикулярны граням и проходят насквозь. Расположите эти кубики в порядке возрастания их веса.

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

1, 3, 2.
Чем больше пересечений отверстий внутри детали, тем она тяжелее.

Ещё две головоломки с кубиками:
Найдите площадь поверхности.
Какое минимальное количество кубиков потребуется?

Прятки

На рисунке чёрными кружками обозначены деревья в саду, белыми - дети. Дети располагаются так, что не видят друг друга за деревьями. Сможет ли шестой ребёнок выбрать себе в саду такое место, откуда его никто не увидит?

update

Быстрее всех был svarog-777.
Ответ

Из неразгаданного - головоломка про звёзды.

100 этажей

Имеется два одинаковых стеклянных шарика, а также стоэтажное здание. На каждом этаже есть балкон, с которого шарик можно сбросить. Если один шарик разбивается, то можно использовать второй. Как определить с помощью минимального количества бросков самый низкий этаж, при падении с которого шарик точно разбивается? Минимальное количество бросков нужно определить и предложить алгоритм действий.

update

Первый - svarog_777.
Ответ

Первый шарик бросаем последовательно с 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99 и 100 этажей. Если на каком-то из этих этажей шарик разбивается, то второй шарик начинаем бросать с этажа, который на один выше, чем был на предыдущем шаге. Если второй шарик не разбивается, то поднимаемся вверх на один этаж. И так далее пока второй шарик не разобьётся. Этаж на котором разобьётся второй шарик и будет искомым. Например, бросаем первый шарик с 14-го этажа - не разбивается, бросаем его же с 27-го этажа - разбивается, тогда второй шарик начинаем бросать с 15-го (14+1) этажа, с 16-го, с 17-го и т.д. пока не разобьётся. Максимальное количество попыток при таком подходе 14.

И ещё - головоломка про радиоактивность.

1-8

Расставьте в квадраты цифры от 1 до 8 так, чтобы квадраты с последовательными цифрами не касались друг друга даже углами.

update

Первый - Медалист.
Ответ

Сверху вниз слева направо: 5, 3, 2, 8, 1, 7, 6, 4.

Головоломка про лабиринт.

Лишнее слово

Определите лишнее слово. Знания иностранных языков для решения этой головоломки не требуется.

update

Ответ

CONSCIOUSLY.
Если гласным присвоить веса (A=5, E=4, I=3, O=2, U=1), а затем сложить числовые значения гласных в каждом слове, то для всех слов эта сумма будет равна 19, за исключением CONSCIOUSLY, для которого она равна 8.

Похожее - определите закономерность...