Перетягивание каната

Задача от мастера головоломок Сэма Лойда. Все условия указаны на рисунке. Кто же перетянет канат в третьем случае?
Ответ
Объединенная «тяга» четырех тучных парней в точности равна тяги пяти пышных сестер. Поскольку на втором рисунке показано, что пара тощих близнецов равна по силе одному тучному парню и двум пышным девицам, мы можем упростить задачу, заменив на третьем рисунке двух тощих близнецов их «тяговым эквивалентом», то есть поставив вместо них толстого парня и двух пышных девиц.
Теперь у нас пять пышных сестер и один тучный парень противостоят одно пышной сестре и четырем тучным парням. Мы может удалить четырех тучных парней с одной и пять пышных девиц с другой стороны каната, ибо, согласно первому рисунку, их силы равны. При этом слева останется один тучный парень, а справа – одна пышная девица. Таким образом, выиграет левая команда, поскольку ее тяговая сила на 1/5 силы парня больше, чем у правой команды.

Задача о двух лодках

Книги Я. И. Перельмана "Занимательная механика", "Занимательная геометрия" и "Занимательная математика" являются теми книгами, которые могут по-настоящему увлечь человека наукой. Советую. Вот несложная задача из "Занимательной механики".

К пристани на озере приближаются две одинаковые лодки. Оба лодочника подтягиваются с помощью веревки. Противоположный конец веревки первой лодки привязан к тумбе на пристани; противоположный же конец веревки второй лодки находится в руках матроса на пристани, который также тянет веревку к себе. Все трое прилагают одинаковые усилия. Какая лодка причалит раньше?
Ответ
На первый взгляд может показаться, что причалит раньше та лодка, которую тянут двое: двойная сила порождает большую скорость. Но верно ли, что на эту лодку действует двойная сила? Если и лодочник и матрос оба тянут к себе веревку, то натяжение веревки равно силе только одного из них – иначе говоря, оно такое же, как и для первой лодки. Обе лодки подтягиваются с равной силой и причалят одновременно.

Лампа для лунной поверхности

Если вы знакомы с теорией решения изобретательских задач (ТРИЗ) и знаете основы физики, то без труда решите следующую изобретательскую задачу.

В книге М. Борисова "Кратеры Бабакина" есть эпизод, связанный с проектированием станции "Луна-16". Нужно было снабдить станцию компактной и сильной электролампой для освещения лунной поверхности "под ногами" станции. Лампе предстояло выдержать большие механические перегрузки. Естественно, отобранные образцы придирчиво испытывали. И вот оказалось, что лампы не выдерживают перегрузок. Слабым местом было соединение цоколя лампы со стеклянным баллоном. Сотрудники Бабакина сбились с ног, пытаясь найти более прочные лампы. Как вы думаете, что предложил в этой ситуации главный конструктор Георгий Николаевич Бабакин?
Ответ
В соответствии с положением об идеальном конечном результате: идеальный баллон - когда баллона нет, а функция его выполняется. В чем функция баллона? Держать вакуум внутри лампы. Но зачем везти вакуум на Луну, если там сколько угодно своего?! Бабакин предложил поставить на "Луну-16" лампу без стеклянного баллона. Такая лампа непригодна на Земле, но ведь на Земле она и не нужна.

Минутная и часовая стрелки часов

В поисках новых головоломок вспомнил о существовании такого замечательного журнала как "Квант". Помню, как ещё в школьные годы мне попался один из номеров и как много времени я потратил на решение напечатанных там задач. Задачи в "Кванте" очень трудные, для решения многих из них помимо сообразительности требуются нетривиальные знания математического аппарата. Но есть задачи, которые можно решить и без сложных вычислений. Хотя от этого они не становятся простыми. Вот одна из них.

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая - минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя)

На рисунке приведен пример одного из таких положений стрелок.
Ответ
Предположим, что рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идут ровно в 12 раз быстрее. Пустим и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас «неразличимые» положения стрелок – в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрых часов. Сколько же раз это произойдет? Из 12*12=144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка «нормальных» сделает один оборот, на каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключить 12 случаев, когда совпадают все четыре стрелки, - остается 132. Ответ: существует 132 положения стрелок, удовлетворяющих условиям задачи.

Какую стратегию выбрать?

Про эту задачу мне рассказал приятель из университета. Ему предложили ее решить на собеседовании, когда он устраивался на работу.

Дано прямоугольное поле и круглые фишки. В игре участвуют двое. Игроки по очереди должны класть фишки на любое свободное место поля. Выигрывает тот игрок, чья фишка займет последнее свободное место. Вопрос: какую стратегию должен выбрать игрок, который ходит первым, чтобы точно выиграть?
Ответ
Первую фишку первый игрок должен положить в центр прямоугольника. Каждую следующую фишку он должен класть симметрично фишке второго игрока относительно центра. Таким образом, куда бы не положил фишку второй игрок, на симметричном относительно центра месте всегда будет свободное поле.

Задача от А.П. Чехова

Следующая задача из рассказа Антона Павловича Чехова "Репетитор". Вот отрывок из произведения:

Теперь по арифметике... Берите доску. Какая следующая задача? Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует: - "Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?" Повторите задачу. Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138. - Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка я разделю! Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. "Странно... - думает он, ероша волосы и краснея. - Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая"... Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63. "Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то". - Решайте же! - говорит он Пете. - Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! - говорит Удодов Пете. Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич. Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет. - Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он. - Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте... Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол. - И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. - Вот, извольте видеть... Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было. - Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Суть в том, чтобы найти ответ только с помощью арифметики, то есть использовать неизвестные нельзя. Об этой задаче рассказал коллега по работе.
Ответ
Если бы купец купил 138 аршин только синего сукна, тогда он потратил бы 138*5=690 рублей. Но он потратил 540 рублей. Разница 690-540=150 рублей возникает из-за того, что черное сукно стоит на 5-3=2 рубля дешевле. Поэтому можно вычислить купленное количество черного сукна разделив 150 на 2. Получим, что купец купил 75 аршин черного сукна. Тогда за синее сукно он заплатил 540-75*3=315 рублей. Отсюда получаем 315/5=63 аршина синего сукна. Как видите, задачу можно решить применяя только арифметические операции.

В каком месте построить мост?

Несложная задачка от моего знакомого. Есть два дома: А и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост, естественно, должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы путь от дома А к дому B был минимальным.
Ответ
Так как ширина реки постоянна (обозначим её s), то при выборе пути это значение можно не учитывать. То есть можно предположить, что реки нет, а все точки на правом берегу сдвинуть на расстояние s к левому берегу. Точка B перейдет в точку C. Теперь нужно искать кратчайшее расстояние между точками A и C. Это, естественно, будет отрезок AC. Отрезок АС пересекает левый берег реки в точке D. В этом месте и нужно строить мост. Так как DC равно BE, то путь ADEB будет минимальным.

Контакты

Предложения о сотрудничестве, а также пожелания относительно работы сайта вы можете оставлять в виде комментария к этому сообщению или присылать на почтовый адрес:

О сайте

Этот блог представляет из себя сборник различных задач и головоломок, которые по тем или иным причинам показались мне интересными. Если вы любите в свободное время поломать голову над решением какой-нибудь задачки, то сможете найти на этом сайте что-нибудь интересное именно вам.

*