Головоломный марафон. Задание 4

Четвертое задание связано со взвешиванием. Имеется 6 шаров. Одна пара красная, другая - зеленая, третья пара - синяя. В каждой паре один из шаров немного легче другого, но выглядят они одинаково. Три более тяжелых шара весят одинаково. Это же условие и для более легких шаров. Как определить с помощью двух взвешиваний на чашечных весах какой из шаров в каждой паре легче?

Головоломный марафон. Задание 3

Третье задание будет о турнире. В турнире участвовало 8 человек, играли каждый с каждым по одному разу. За победу участник получал 1 очко, за ничью 0.5, а за поражение 0. В результате все участники набрали разное количество очков. Также известно, что второй участник набрал очков столько же, сколько набрали все игроки, занявшие места с 5 по 8. Как сыграли между собой участники, занявшие 4 и 5 места? Ответ обосновать.

Головоломный марафон. Задание 2

Второе задание представляет из себя оригинальную головоломку со спичками: равенство изображенное на рисунке неверно, переложите одну спичку так, чтобы оно выполнялось с точностью до 0.01.

Головоломный марафон. Задание 1

Попробуем сделать решение головоломок еще интереснее. Объявляется КОНКУРС, победитель которого получит приз.
Правила предельно просты. Публикуется задание. Первый, кто напишет в комментариях правильный ответ на вопрос задания, тот получает 1 балл. Один участник может дать только один ответ. Конкурс заканчивается как только один из участников наберет 5 баллов. Победитель получает 500 руб. Сумма небольшая, но и задания не очень сложные.
Для того, чтобы оставить комментарий вам нужно будет зарегистрироваться или воспользоваться уже имеющимся аккаунтом, например, в google. Вознаграждение будет переведено на счет победителя с помощью одной из платежных систем.

Итак, задание №1.
Последнее время увлекся шахматами. Так, что сам придумал задачку. Нужно поставить мат черным в два хода.


Посетителей у блога немного, поэтому шансы на выигрыш велики. Удачи!

UPDATE: Конкурс завершен. Победитель - atrabarba.

Особенные числа

Вот одна нелегкая математическая головоломка. Оказывается, что между числами 53, 317, 599, 797, 3797, 73331, 739397, 2399333, 37337999 много общего. Первое, что приходит на ум, - они все нечетные. Ну, это не очень интересно. Если подумать еще, то можно заметить, что они все простые (то есть делятся без остатка только на 1 и сами на себя). Уже лучше. Но есть еще одна замечательная особенность у этих чисел, которая сразу незаметна. Так что же особенное скрыто в этих числах?
Ответ
Числа эти обладают тем свойством, что после отбрасывания нескольких последних знаков они опять остаются простыми.

Дома и деревья

Это моя интерпретация одной из головоломок Генри Э. Дьюдени. Четыре дачника решили поделить общий участок земли на четыре части. Но на этом участке росло четыре дерева. Каждый из дачников захотел, чтобы у него на участке непременно было дерево. И вот здесь возникла головоломка: как поделить общий участок на четыре части одинаковой площади и формы так, чтобы на каждом из четырех участков были один дом и одно дерево (границы раздела должны проходить по сторонам квадратов, нарисованных на картинке)?
Ответ

Шахматы - 2

Представленная задача в 1842-1844 годах красовалась на обложке одного шахматного журнала. Задание: белые начинают и делают мат в 3 хода.
Ответ
1. Ферзь f5+, король : f5.
2. Конь c: d7, любой возможный ход.
3. Пешка g4, мат.

Шахматы - 1

Несложная шахматная головоломка для разминки. Белая ладья и два коня должны поставить мат черному королю в два хода.
Ответ
1. Ладья белых на f7+, черным остается только конь : f7.
2. Конь на g6, мат.

Головоломные весы

Еще одна головоломка от Сэма Лойда в виде картинки. Сколько стаканов уравновесят бутылку?
P.S. На весах, где два кувшина - с другой стороны 3 тарелки.
Ответ
Два кувшина уравновешиваются тремя блюдцами, так что вес одного блюдца равен 2/3 веса кувшина. Теперь добавим на каждую чашу весов второго рисунка по стакану; при этом в левой чаше окажутся те же предметы, что и в левой чаше первого рисунка. Это означает, что вес кувшина равен весу блюдца и двух стаканов; а поскольку вес блюдца равен 2/3 веса кувшина, то вес двух стаканов равен оставшейся 1/3. Следовательно, вес каждого из стакана равен 1/6 веса кувшина.
На первом рисунке мы видим, что стакан (1/6 веса кувшина) и бутылка уравновешивают кувшин; отсюда мы находим, что вес бутылки составляет 5/6 веса кувшина. Таким образом, чтобы уравновесить бутылку на последнем рисунке, требуется 5 стаканов.

Каков возраст жильцов дома?

Когда мне на глаза попалась эта задача, она мне не очень понравилась. Слишком длинное и местами не очень понятное условие. Но все же я решил не сдаваться и попробовать разобраться. В результате потратив часа два получил ответ. Итак, журнал "Квант" за 1970 год предлагает такую задачу.

Агент по переписи Смит и агент по опросу населения Джонс одновременно подходят к дому № 900. Каждый хочет узнать возраст жильцов этого дома. Владелец дома (дело происходит в США) сообщает им свой возраст и говорит, что в доме живут еще три жильца, возрасты которых - три различных целых числа - при перемножении дают число, равное номеру дома. Владелец дома говорит, что он сообщит агенту по переписи возраст среднего из жильцов. Он шепотом сообщает этот возраст агенту по переписи, который после этого говорит, что он не в состоянии определить возраст двух других жильцов. Тогда владелец дома говорит, что он сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего из жильцов и одного из двух других. Он шепотом сообщает сумму агенту по опросу, который говорит, что он тоже не в состоянии отгадать возраст жильцов.
Владелец дома начинает спрашивать их по очереди. В первый раз агент по переписи отвечает, что он не может определить эти возрасты. Агент по опросу говорит, что он тоже не может определить эти возрасты. Во второй раз агент по переписи говорит, что он по-прежнему не может определить возрасты. Агент по опросу говорит, что и он все еще не может этого сделать. В третий раз агент по переписи говорит, что он все еще не знает возрасты жильцов, а агент по опросу заявляет: "Теперь я знаю все возрасты".
Каков возраст этих трех жильцов? (В условии задачи содержится вся необходимая информация для решения!)
Ответ
Полное решение очень громоздкое, поэтому приведу только алгоритм.
Так как возрасты – это целые числа и произведение их равно 900, то вначале раскладываем 900 на 3 целых множителя всеми возможными способами. Получается около 35 вариантов.
Убираем те варианты, в которых присутствует два одинаковых множителя, так как по условия возрасты различны.
Владелец дома сообщил агенту по переписи возраст среднего из жильцов, а агент не смог назвать возрасты остальных. Следовательно, из списка вариантов можно исключить те записи, в которых возраст среднего из жильцов встречается только один раз. Например, вариант 1,25,36. Значение 25 встречается только в этом варианте.
Далее владелец дома сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего и одного из двух других, но агент опять не может назвать возрасты. Это означает, что из списка можно вычеркнуть варианты, в которых сумма возрастов старшего и одного из двух других жильцов встречается только один раз. Например, суммы 52 и 59 подходят только для варианта 2, 9, 50. И если бы возрасты были 2, 9, 50, то агент по опросу мог бы их назвать.
Аналогично следующие три раза, когда владелец дома спрашивает агентов по очереди, вычеркиваем те варианты, которые встречаются только один раз.
В итоге, когда владелец третий раз спрашивает агента по опросу, должны остаться только два варианта: 4, 9, 25 и 5, 9, 20. Так как агент смог назвать возрасты жильцов, то ответом будет вариант 5, 9, 20. Это следует из того, что сумма 34 для варианта 4, 9, 25 отпала на одном из предыдущих этапов, а сумма 29 подходит и для варианта 5, 9, 20. А вот сумма 25 для варианта 5, 9, 20 подходит только для него. Поэтому агенту была названа сумма 25, а ответом будут возрасты 5, 9 и 20.