Клин

Задача с устного тура олимпиады по физике.
Левый клин медленно задвигают под правый. Каким должен быть угол α, чтобы правый клин перевернулся?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
α > arctg(3/4).

Для решения нужно знать следующее. Во-первых, центр масс треугольника находится на пересечении его медиан. Во-вторых, клин начнет опрокидываться, когда вертикаль, проходящая через центр тяжести, выйдет за пределы площади опоры. На чертеже показан предельный случай, центр тяжести клина обозначен точкой O. Легко доказать, что угол α в этом случае равен углу ACB, который легко найти через тангенс. Откуда получаем, что α=arctg(3/4).

HE

Напишите девятизначное число, у которого первая цифра равна количеству НЕ единиц, вторая - количеству НЕ двоек, ..., девятая - количеству НЕ девяток.

update

Первым правильно ответил ovo.
Ответ
999899874

Две обратные головоломки: 1 и 2.

Точность

Будем называть точностью стрельбы отношение числа успешных выстрелов к числу использованных патронов. В соревновании участвовало два спортсмена. Вначале каждому из них выдали по 20 патронов. Соревнование проходило в два этапа. На каждом этапе спортсмен мог использовать любое количество патронов (отличное от нуля). После соревнования возникли трудности с определением победителя. Оказалось, что на каждом этапе точность первого спортсмена была выше точности второго. Но по общему результату точность стрельбы второго спортсмена оказалась выше. Как такое могло получится?

update

Первым правильно ответил birkin.
Ответ
Например, так:
на первом этапе точность первого спортсмена 6/14, точность второго 4/10;
на втором этапе точность первого спортсмена 5/6, точность второго 8/10.

3501210210

В записи десятизначного числа использованы все 10 цифр. Начав слева, вместо каждой цифры этого числа записали число цифр, которые меньше нее и расположены справа от нее. Получили 3501210210. Каким было первоначальное число?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

3602541987


Математические головоломки:
Стертые числа.
Невозможное простое число.
В порядке возрастания.

На 3 равные части

Лист бумаги имеет форму четверти круга. Как его разрезать на три равные части? При этом нельзя пользоваться чертежными инструментами, а можно только сгибать листок.

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

Сгибаем листок пополам по вертикали и по горизонтали, получаем точки M и N. У прямоугольных треугольников OMQ и ONP гипотенузы в два раза больше катетов, поэтому углы OMQ и ONP равны 30 градусам. Откуда получаем, что и углы AOM, MON и NOB равны 30 градусам. Следовательно, отрезки OM и ON делят лист на три равные части.

Геометрические головоломки:
Как построить угол величиной 15 градусов?
Как разрезать кусок фанеры на две равные части?

Слово

Вопрос на эрудицию. Интересно, но эти казалось бы совершенно разные картинки можно назвать одним словом греческого происхождения. Назовите это слово.

update

Первым правильно ответил vadalb.
Ответ
Катавасия.

Сумма углов

Чему равна сумма углов XAY, XBY, XCY и XDY?

update

Быстрее всех был @Kulida в твиттере.
Ответ
Так как угол XAP равен углу XDY, угол PAQ равен углу XBY и угол QAR равен углу XCY, то сумма углов XAY, XBY, XCY и XDY равна углу YAR и равна 45 град.

Похожая задача.

Электрички

Пешеход шел вдоль железнодорожного полотна со скоростью u=4 км/ч. Он заметил, что по путям шли две встречные электрички, одна из которых составлена из N1=9 вагонов, а другая - из N2=10 вагонов. Пешеход обратил внимание на то, что головные вагоны поравнялись друг с другом как раз напротив него. Но самым интересным было то, что и последние вагоны разошлись тоже строго напротив него. С какой скоростью ехали электрички, если считать, что их скорости равны?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ
v = u*(N2+N1)/(N2-N1) = 76 км/ч.

Еще одна олимпиадная задача про велосипедиста и автобус.

Озеро

Почему в воде на этой фотографии не видно никаких отражений? Картинку можно увеличить.

update

Первым правильно ответил ovo.
Ответ
На фотографии нет воды, это ограждение.

Велосипедист и автобус

Задача с одной из Московских физических олимпиад.

Велосипедисту и автобусу нужно проехать из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 11 км. Они выезжают одновременно. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км/ч, через каждый километр пути делает остановку на 2 мин. Велосипедист движется с постоянной скоростью, не останавливаясь. Какой должна быть скорость велосипедиста, чтобы он обгонял автобус на каждой промежуточной остановке между пунктами А и Б?

update

Первым правильно ответил R.
Ответ
Скорость должна быть в интервале от 20 км/ч до 21,4 км/ч.
Одно из решений - графическое.

На рисунке изображены графики зависимости пройденного пути от времени для автобуса (ломаная линия) и для велосипедиста (две прямые линии). Скорость велосипедиста должна быть такой, чтобы на отметке "10 км" он находился в период времени от 28 мин до 30 мин. Отсюда находим v1 = 10км/30мин = 20 км/ч, v2 = 10км/28мин = 21,4 км/ч.