1000 бутылок

Имеются 1000 бутылок с вином. В одной из них вино испорчено. Имеются 10 белых мышей, с помощью которых нужно обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, ровно через 10 минут она приобретает яркую фиолетовую окраску. Разрешается накапать вина из разных бутылок каждой мыши и дать им выпить одновременно, а потом ждать. Придумайте способ, позволяющий через 10 минут и 1 секунду определить бутылку с испорченным вином.

update

Первым правильно ответил Yurko.
Ответ

Пронумеруем все бутылки от 1 до 1000 и напишем на каждой ее номер в двоичной системе счисления; для номеров, меньших 512, допишем слева нули так, чтобы всего на каждой бутылке были написаны десять цифр. Также присвоим каждой мыши номер от 1 до 10 и дадим k-й мыши смесь вина из тех бутылок, на которых k-я цифра - единица. Когда пройдут десять минут, выпишем десять цифр - единицу на k-м месте, если k-я мышь изменила цвет, иначе - ноль. Полученная двоичная запись будет номером испорченной бутылки.

Пока правильных ответов на задачу про шесть гирь не было, попробуйте.

Сумма

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не различаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

Так удастся ли провести прямую, которая будет пересекать не менее 4 окружностей?

update

Первым правильно ответил Yurko.
Ответ

Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. По условию ни одна из разностей не равна ни одному из 25 чисел, которые не превосходят 50. Поэтому вместе с ними разности дают 50 различных натуральных чисел, которые не превосходят 50, то есть это все числа от 1 до 50. Их сумма равна 51*25, а сумма всех исходных чисел равна 51*25+50*25=2525.

Неправильные надписи

Имеется шесть гирь, массы которых 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г. На каждой гире надписана ее масса, но надписи возможно перепутаны. Как за два взвешивания на чашечных весах выяснить, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно)?

update

В напряженной борьбе победил Yurko.
Ответ

Первое взвешивание: 1+2+3=6. Гиря под номером 6 должна быть самой тяжелой. Гири с надписями 1, 2 и 3 вместе тоже должны весить 6 г, в противном случае их общий вес будет больше. Если весы в равновесии, значит на гире 6 надпись нанесена правильная. Надписи на гирях 1, 2 и 3 могут быть перепутаны, но только между собой, а не с гирями 4 и 5. Если весы не уравновешены, то сейчас на весах есть гири 4 г и/или 5 г, и неправильность нанесения надписей уже определена.
Второе взвешивание. Теперь у нас есть "эталон" - гиря весом 6 г. Кроме того, надписи могут быть перепутаны только внутри наборов гирь 1, 2, 3 и 4, 5. Тогда на весах можно сравнить по гире с каждого набора с эталонной. Например, на одну чашу положить гири из наборов с максимальным весом 5+3=8, а на другую - эталон и гирю с минимальным весом 1. Тогда во втором взвешивании получим 5+3>6+1. Причем чаша с гирями 5+3 перевесит только в том случае если надписи на гирях 5 и 3 правильные. Тогда можно сделать вывод, что надписи остальных гирях тоже правильные. В противном случае получим равновесие (перепутаны 1 и 2), или перевесит чаша 6+1 (уменшьшится вес 5+3 и увеличится 6+1).

1*******7

В последовательности звездочками обозначены числа. Сумма любых трех соседних чисел в этой последовательности равна 15. Найдите второй член последовательности, то есть число, обозначенное первой звездочкой.

update

Быстрее всех был Grom в твиттере.
Ответ

7.

Поскольку сумма трех последних чисел равна 15, а последнее число равно 7, то сумма шестой и седьмой звездочек равна 8, поэтому пятая звезда равна 7 (ведь сумма пятой, шестой и седьмой звездочек также равна 15). Дальше рассуждаем аналогично и получаем, что вторая звездочка равна 7. Сумма же первых трех чисел также равна 15, поэтому на месте первой искомой звездочки должна стоять 7.

Иван Васильевич меняет профессию

Пробуем найти очередной киноляп. На этот раз в эпизоде всем известного фильма "Иван Васильевич меняет профессию".

update

Быстрее всех был auti.
Ответ
Со стола пропал кинжал.

21 г

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?
Как найти 4 фальшивые монеты?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ
Подробный ответ в комментариях.

AC=2AB

Дан отрезок AB. С помощью одного только циркуля найдите точку C, такую, что отрезок AC=2AB.

Про отрезок нужной длины.
Про угол нужной величины.
Про центр окружности.

update

Первым правильно ответил Эйч.
Ответ

Вначале проводим окружности с центрами в точках А и В и радиусом АВ. Пусть D - одна из точек пересечения этих окружностей. Далее тем же раствором циркуля на окружности с центром В откладываем дуги DE и EC. Точка С - искомая точка.

Задача Набокова

Оказывается, что писатель Владимир Набоков был видным шахматным композитором. Вот одна из его самых известных задач. Белые делают мат в три хода.

update

Первым правильно ответил Waleriy.
Ответ
1. h3, h4.
2. Лh7, hg.
3. h4X

1. h3, Крh6.
2. h4, g5.
3. hgX

1. h3, Крh4.
2. Л:g6, gh.
3. Сf6X

Не менее 4 окружностей

Дан квадрат со стороной 1, в котором нарисовано несколько окружностей. Сумма длин всех окружностей равна 10. Получится ли при таких условиях провести одну прямую, которая будет пересекать не менее четырех из этих окружностей?

Ромашка

Двое играют в ромашку. Предположим, что у ромашки N лепестков. Играющие отрывают по очереди либо один, либо два соседних лепестка. Выигрывает тот игрок, который оторвет последний лепесток. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
Игра с корзинами и шариками.

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

Выигрывает второй игрок.
Представим, что лепестки расположены в вершинах правильного N-угольника. Если N - четно, то второй игрок должен отрывать лепестки симметричные оторванным первым игроком относительно центра N-угольника. При нечетном N если вначале первый игрок отрывает один лепесток, второй отрывает два лепестка, расположенные в концах стороны, противоположной этому лепестку. Если первый игрок отрывает 2 лепестка, второй отрывает один лепесток в вершине, противоположной стороне, выбранной первым. Далее второй отрывает лепестки, симметричные оторванным первым игроком относительно оси симметрии N-угольника