Что больше?

Как думаете, какой из знаков неравенства - больше или меньше - нужно поставить вместо знака вопроса? Докажите свое предположение.

update

Ответ

Меньше.
Заменим в первом слагаемом последнюю 6 на 9. После извлечения всех корней получим 3. Во втором слагаемом заменим последнюю 6 на 8. После извлечения всех корней получим 2. Сумма в левой части неравенства после замены равна 5, следовательно, до замены эта сумма была меньше 5.

Уравнение с интересным решением.
Какое из двух чисел больше?

BE+DF=?

Геометрическая задача с несложным и красивым решением.
Буквой E отмечена произвольная точка на стороне BC квадрата ABCD. AF - биссектриса угла DAE. Известно, что AE=a. Чему равна сумма длин отрезков BE+DF?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

BE+DF=а.
Выполним дополнительные построения так, чтобы треугольник AEB был равен треугольнику AE'D. Видно, что угол FAB равен углу E'AF и равен углу AFE'. Следовательно, треугольник AE'F равнобедренный и AE'=E'F=AE=a. При этом E'D+DF=BE+DF=a.

Ещё две геометрические головоломки:
Как будет выглядеть вид сверху?
Как убедиться, что угол равен 31 град?

Странная дуэль

Проверка знаний теории вероятности.
Две пули вложены в произвольно выбранные гнезда шестизарядного револьвера, четыре гнезда оставлены пустыми. Барабан револьвера прокручивается один раз - перед началом дуэли. Каждый дуэлянт делает не более одного выстрела в себя из этого револьвера. При трагическом исходе для стрелявшего в себя первым, второй дуэлянт, не делает своего выстрела. Вероятность остаться в живых для первого дуэлянта определяется легко и равна 2/3. На сколько больше вероятность благоприятного исхода для второго дуэлянта?

update

Первым правильно ответил sentpim.
Ответ

1/15.
Если стреляющий первым остался невредимым (событие А), значит под курком револьвера было пустое гнездо барабана. После чего под курком револьвера появилось либо вновь пустое гнездо (одно из трех), либо - с пулей (одно из двух), и вероятность появления второго пустого гнезда равна 3/5. Но событие B - "остаться невредимым стреляющему вторым" - зависимое от появления или не появления предшествующего ему события А, вероятность появления которого P1=P(A)=2/3. Поэтому вероятность появления события С - "второй дуэлянт остался невредимым после того как произошло событие А" - равна P(C)=(2/3)*(3/5)=2/5. Но и это еще не полная вероятность события В, которое наступает также и при трагичном исходе для стрелявшего первым, - его вероятность равна 1/3. Эта вероятность прибавляется к вероятности P(C)=2/5. Итак, P(B)=(2/5)+(1/3)=11/15, что больше P(A)=2/3 на 1/15.

Поле чудес.

Вес сома

Шнурок перекинут через блок, подвешенный к пружинным весам. К одному концу шнурка привязан сом, а второй прикреплен к полу. Блок и веревку считаем невесомыми. Весы показывают 15 кг. Сколько весит сом?

update

Первым правильно ответил R.
Ответ

7,5 кг.
Пружина весов растягивается под действием веса рыбы и равной ему силы натяжения веревки по другую сторону блока. Следовательно, сом весит 7,5 кг, если считать блок и веревку невесомыми.

Похожее - в каком из трех случаев безмен покажет самое большое значение?

>, < или =

Какое из двух чисел больше?

update

Ответ
63^9 < 64^9=2^54
33^11 > 32^11=2^55
Так как 2^55 > 2^54, то тем более 33^11 > 63^9.
Ещё одна задача без сложных вычислений: 492y04

7 колец

Однажды путешественник решил остановится в гостинице на неделю. Денег у него почти не было, но была золотая цепочка, состоящая из семи колец. Хозяин гостиницы согласился получать в уплату звенья этой цепочки из расчета одно колечко в день, но с некоторыми условиями. Во-первых, каждый прожитый день оплачивать следовало раздельно. Во-вторых, хозяин попросил не откалывать от цепочки по одному звену в день, а сразу рассечь какое-то минимальное количество колечек, чтобы цепочка распалась на несколько секций, с помощью которых путешественник смог бы расплачиваться с хозяином одним колечком (не исключая рассеченных) ежедневно. Какое минимальное количество колечек нужно рассечь и как следует производить оплату, чтобы выполнить условия хозяина? (Учтите, что в виде сдачи хозяин может использовать ранее полученные кольца этой цепочки).

update

Ответ
Достаточно рассечь одно кольцо - третье. Не считая рассеченного, образуется две секции: из двух колец и из четырех.
Оплата будет производится следующим образом.
1-й день: путешественник отдает рассеченное кольцо;
2-й день: отдает секцию из двух колец, получает обратно рассеченное;
3-й день: отдает рассеченное;
4-й день: отдает секцию из четырех колец, получает обратно рассеченное и секцию из двух колец;
5-й день: отдает рассеченное;
6-й день: отдает секцию из двух колец, получает обратно рассеченное;
7-й день: отдает рассеченное.
Головоломка сварщика.

Небоскреб

На верхних этажах Шанхайского всемирного финансового центра есть смотровая площадка, где туристам продают уменьшенные копии этого небоскреба. Данные изделия, кроме того, что служат просто сувенирами, еще могут пригодиться в хозяйстве. Для чего?

update

Первым правильно ответил Gennady.
Ответ
Открывания бутылок.
Ещё одна полезная в хозяйстве вещь.

Are you hungry?

Как думаете, что таким образом хотел показать зрителю автор этой композиции?

update

Первым правильно ответил dm-chistyakov.
Ответ

Ещё два интересных памятника: памятник №1 и памятник №2.

Головоломка бармена

Бармен предлагает разместить эти бутылки так, чтобы из чисел образовался магический квадрат с суммой, равной 30: вдоль каждой из четырех строк, вдоль каждого из четырех столбцов и вдоль обеих диагоналей квадрата. При этом нельзя перемещать более чем десять бутылок, то есть какие-то шесть должны остаться там, где поставлены. Как нужно расставить бутылки, чтобы выполнить все условия?

Ещё две головоломки: про сад и про мух.

Взлет или посадка?

Взлетает или садится космический корабль, который показан на рисунке? Ответ обоснуйте. На рисунке имеется достаточно данных для ответа на вопрос.

update

Первым правильно ответил ovo.hm.
Ответ

Садится.
Исходя из размеров иллюминатора определяем, что отсутствуют ступени ракеты, которые требуются для взлета с Земли. Можно предположить, что взлет происходит, например, с Луны. Однако, эту версию опровергают клубы пыли, которые на Луне не могли бы образоваться. Следовательно, остается только вариант посадки на Землю.

Куда поедет велосипед?