Клуб любителей головоломок

среда, 3 октября 2012 г.

Универсальная пробка

На рисунке показана универсальная пробка, которой можно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия. Радиус круглого основания равен единице, высота - двум единицам. Ребро в верхней части расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного, и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру. Чему равен объем такой пробки? Задача решается без сложных вычислений.

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

π.
Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндрической, соответствующие сечения были бы прямоугольниками, при этом площадь каждого прямоугольного сечения была бы вдвое больше площади треугольного сечения. Поскольку цилиндр можно считать составленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсальной пробки должен составлять половину объема цилиндра: объем цилиндра равен 2π, следовательно, объем универсальной пробки равен π.

Задача про плот.

понедельник, 1 октября 2012 г.

Необычная дуэль

Ещё одна необычная дуэль. В дуэли принимают участие три человека А, Б и В. Они условились провести поединок по следующим правилам. Вначале бросается жребий и определяется кому стрелять первым, кому - вторым и кому - третьим. Далее противники расходятся по местам и встают в вершинах равностороннего треугольника. Дуэлянты договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка. Все участники знают, что лучше всех стреляет А и он никогда не промахивается. Б попадает в цель в 4 случаях из 5. Участник В стреляет хуже всех - он промахивается также часто, как и попадает в цель. Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уцелеть, если считать, что все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из них не будет убит шальной пулей, предназначенной другому? Чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

A останется жив с вероятностью 3/10.
Б - 8/45.
В - 47/90.
Наибольшую вероятность выжить имеет худший из стрелков (В). Потом идет стрелок А, который никогда не промахивается. Поскольку противники В, когда настанет их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для В заключается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его противников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.
А в дуэли с Б с вероятностью 1/2 стреляет первым. В этом случае он убивает Б. Б, который попадает в цель в 4 случаях из 5, стреляет первым с такой же вероятностью. В этом случае А останется в живых с вероятностью 1/5. Таким образом, А с вероятностью 1/2 + 1/2 * 1/5 = 3/5 переживает Б. Если А останется в живых, то в него стреляет В, который в 1/2 всех случаев промахивается. Но если В промахивается при первом выстреле, то А, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1/2 А выходит из дуэли с В живым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими противниками для А равна 3/5 * 1/2 = 3/10.
Вероятность остаться в живых после дуэли с А для Б равна 2/5 = 1 - 3/5. Затем в Б стреляет В, который попадает в цель лишь в половине случаев. Если В промахивается, то Б с вероятностью 4/5 убивает его. Итак, на этом этапе дуэли Б с вероятностью 1/2 * 4/5 = 4/10 выходит победителем из поединка с В. Но с вероятностью 1/5 Б может промахнуться, после чего В имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1/2 Б останется в живых, и тогда он в свою очередь сможет выстрелить в В и с вероятностью 4/5 убить его. Шансы Б остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1/2 * 1/5 * 1/2 * 1/5 = 4/100. Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что шансы Б пережить В равны бесконечной дроби 0,4444... = 4/10 + 4/100 + ... , или 4/9. Вероятность того, что именно Б переживет обоих своих противников, равна 2/5 * 4/9 = 8/45.
Шансы В вычисляются легко 1 - 3/10 - 8/45 = 47/90.

вторник, 18 сентября 2012 г.

Что это?

Как думаете, для чего предназначен такой плакат?

update

Первым правильно ответил dm_chistyakov.
Ответ

Другие фотоголоволомки:
Ошибка художника.
Крокодил.

среда, 5 сентября 2012 г.

Касания

Головоломка, для которой потребуется 7 одинаковых предметов цилиндрической формы, например, карандашей или сигарет. Требуется расположить эти цилиндры так, чтобы каждый из них соприкасался с шестью остальными. Как это сделать?

Ответ

Другие головоломки:
От бармена.
От садовника.

пятница, 31 августа 2012 г.

Ошибка художника

Найдите ошибку художника на этой марке.

update

Первой правильно ответила elmich91.
Ответ

Чайки по ночам не летают.

Ещё две интересные марки:
Liberte, Egalite, Fraternite.
Марка, которую никто не покупал.

понедельник, 27 августа 2012 г.

Лица

На листе бумаги нарисованы пять лиц и шесть шляп. С помощью одних только ножниц сделайте так, чтобы на рисунке оказалось шесть лиц и шесть шляп.

update

Первым был svarog-777.
Ответ

Снизу исходная картинка. Делаем горизонтальный разрез, как показано на рисунке, и смещаем получившиеся листы. Лица немного меняются, но теперь их становится шесть вместо пяти.

Древняя китайская игра - танграм.

вторник, 21 августа 2012 г.

Крокодил

Перед вами обложка одного из выпусков журнала "Крокодил". На каждом колесе написано по одному слову. Эти слова, естественно, связаны по смыслу. Попробуйте догадаться что там написано.

update

По одному слову отгадали svarog-777 и rerf2010rerf.
Ответ

Ещё несколько загадочных надписей:

Are you hungry?

Забытый...

понедельник, 20 августа 2012 г.

Сплавы

От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз масса отрезанного куска меньше массы целого куска?

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ