Вокруг света

Самолетная база располагается на маленьком острове. В бак каждого самолета помещается столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество горючего. На земле заправку можно производить только на острове. Считаем, что заправка на земле и воздухе происходит мгновенно. Чему равно минимальное число самолетов, которые смогут обеспечить полет одного самолета по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты должны вернуться на свою базу?

update

Первым правильно ответил Dendr.
Ответ
Для выполнения задания потребуется один основной самолет и два дополнительных.
Самолеты А, В и С стартуют одновременно. Пролетев 1/8 намеченного расстояния, С перекачивает 1/4 исходного запаса горючего в баки А и 1/4 - в баки В, после чего у него остается 1/4 заправки. Этого количества горючего ему хватает, чтобы вернуться на базу.
Самолеты А и В, продолжая полет, проходят ещё 1/8 кругосветного маршрута, после чего В перекачивает 1/4 заправки в баки А. Баки В остаются заполненными ровно на половину, и он благополучно дотягивает до родного аэродрома, совершая посадку уже с пустыми баками.
Полностью заправленный самолет А продолжает лететь до тех пор, пока у него не кончится горючее. К этому моменту он находится на расстоянии 1/4 всего пути от базы, и его встречает самолет С, успевший перезаправиться на острове. С перекачивает в баки А 1/4 заправки и вслед за А берет курс на базу. На расстоянии 1/8 окружности земного шара горючее у А и С кончается, но тут их встречает побывавший на базе В, который отдает каждому из них по 1/4 полной заправки. После этого топлива в баках каждого самолета хватает как раз на то, чтобы благополучно вернуться на свою базу.

Разные головоломки:
Про семь колец.
Про железнодорожную развязку.

Что? Где? Когда? Первая игра осенней серии 2012

Вопросы и ответы первой игры осенней серии 2012 года. С телезрителями играла команда Алеся Мухина.

Первый раунд.
Итальянский дизайнер Антонелло Фузе предлагает не выбрасывать старые стулья, а давать им вторую жизнь. В какое изделие Антонелло Фузе превращает спинку старого стула?

Ответ
В вешалку для одежды.

Знатоки ответили правильно. Счет 1-0.

Второй раунд.
В индийском штате Уттар-Прадеш на улицах и в парках установлено большое количество статуй слонов. По какому случаю все эти статуи накрывают брезентом?
Ответ
По случаю выборов. Слон - символ одной из местных партий, поэтому статуи закрывают, чтобы не было агитации.
Знатоки ответили неправильно. Счет 1-1.

Третий раунд. 13-й сектор.
Дизайн кубка Английской премьер лиги основан на геральдике трех львов, два из которых расположены по бокам. А где третий?
Ответ
Третьего льва символизирует капитан команды чемпиона, поднимающий кубок над головой.
Знатоки ответили неправильно. Счет 1-2.

Универсальная пробка

На рисунке показана универсальная пробка, которой можно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия. Радиус круглого основания равен единице, высота - двум единицам. Ребро в верхней части расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного, и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру. Чему равен объем такой пробки? Задача решается без сложных вычислений.

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

π.
Любое поперечное сечение пробки плоскостью, перпендикулярной верхнему ребру и основанию, имеет вид треугольника. Если бы пробка была цилиндрической, соответствующие сечения были бы прямоугольниками, при этом площадь каждого прямоугольного сечения была бы вдвое больше площади треугольного сечения. Поскольку цилиндр можно считать составленным из прямоугольных поперечных сечений, объем универсальной пробки должен составлять половину объема цилиндра: объем цилиндра равен 2π, следовательно, объем универсальной пробки равен π.

Задача про плот.

Необычная дуэль

Ещё одна необычная дуэль. В дуэли принимают участие три человека А, Б и В. Они условились провести поединок по следующим правилам. Вначале бросается жребий и определяется кому стрелять первым, кому - вторым и кому - третьим. Далее противники расходятся по местам и встают в вершинах равностороннего треугольника. Дуэлянты договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка. Все участники знают, что лучше всех стреляет А и он никогда не промахивается. Б попадает в цель в 4 случаях из 5. Участник В стреляет хуже всех - он промахивается также часто, как и попадает в цель. Кто из дуэлянтов имеет более высокий шанс уцелеть, если считать, что все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из них не будет убит шальной пулей, предназначенной другому? Чему равна вероятность остаться в живых для каждого из дуэлянтов?

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

A останется жив с вероятностью 3/10.
Б - 8/45.
В - 47/90.
Наибольшую вероятность выжить имеет худший из стрелков (В). Потом идет стрелок А, который никогда не промахивается. Поскольку противники В, когда настанет их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для В заключается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его противников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.
А в дуэли с Б с вероятностью 1/2 стреляет первым. В этом случае он убивает Б. Б, который попадает в цель в 4 случаях из 5, стреляет первым с такой же вероятностью. В этом случае А останется в живых с вероятностью 1/5. Таким образом, А с вероятностью 1/2 + 1/2 * 1/5 = 3/5 переживает Б. Если А останется в живых, то в него стреляет В, который в 1/2 всех случаев промахивается. Но если В промахивается при первом выстреле, то А, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1/2 А выходит из дуэли с В живым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими противниками для А равна 3/5 * 1/2 = 3/10.
Вероятность остаться в живых после дуэли с А для Б равна 2/5 = 1 - 3/5. Затем в Б стреляет В, который попадает в цель лишь в половине случаев. Если В промахивается, то Б с вероятностью 4/5 убивает его. Итак, на этом этапе дуэли Б с вероятностью 1/2 * 4/5 = 4/10 выходит победителем из поединка с В. Но с вероятностью 1/5 Б может промахнуться, после чего В имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1/2 Б останется в живых, и тогда он в свою очередь сможет выстрелить в В и с вероятностью 4/5 убить его. Шансы Б остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1/2 * 1/5 * 1/2 * 1/5 = 4/100. Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что шансы Б пережить В равны бесконечной дроби 0,4444... = 4/10 + 4/100 + ... , или 4/9. Вероятность того, что именно Б переживет обоих своих противников, равна 2/5 * 4/9 = 8/45.
Шансы В вычисляются легко 1 - 3/10 - 8/45 = 47/90.

Что это?

Как думаете, для чего предназначен такой плакат?

update

Первым правильно ответил dm_chistyakov.
Ответ

Другие фотоголоволомки:
Ошибка художника.
Крокодил.

Касания

Головоломка, для которой потребуется 7 одинаковых предметов цилиндрической формы, например, карандашей или сигарет. Требуется расположить эти цилиндры так, чтобы каждый из них соприкасался с шестью остальными. Как это сделать?


Ответ

Другие головоломки:
От бармена.
От садовника.

Ошибка художника

Найдите ошибку художника на этой марке.

update

Первой правильно ответила elmich91.
Ответ

Чайки по ночам не летают.

Ещё две интересные марки:
Liberte, Egalite, Fraternite.
Марка, которую никто не покупал.

Лица

На листе бумаги нарисованы пять лиц и шесть шляп. С помощью одних только ножниц сделайте так, чтобы на рисунке оказалось шесть лиц и шесть шляп.

update

Первым был svarog-777.
Ответ

Снизу исходная картинка. Делаем горизонтальный разрез, как показано на рисунке, и смещаем получившиеся листы. Лица немного меняются, но теперь их становится шесть вместо пяти.

Древняя китайская игра - танграм.

Крокодил

Перед вами обложка одного из выпусков журнала "Крокодил". На каждом колесе написано по одному слову. Эти слова, естественно, связаны по смыслу. Попробуйте догадаться что там написано.

update

По одному слову отгадали svarog-777 и rerf2010rerf.
Ответ

Ещё несколько загадочных надписей:

Are you hungry?

Забытый...

Сплавы

От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз масса отрезанного куска меньше массы целого куска?

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ

Другие задачи:
Про свечи.
Про сено.