Третий вид

Потренируем пространственное мышление. На рисунке изображены две проекции объёмной детали: вид спереди и вид слева. Как будет выглядеть вид сверху? Есть два решения.

update

Ответ

Подобное: вид слева и вид сверху.

Прогулка

Перед походом в лес грибник взглянул на часы и запомнил, что в тот момент было где-то между 9 и 10 часами утра, а стрелки часов были совмещены. Когда он вернулся домой, то опять взглянул на часы, на которых было между 3 и 4 часами дня. Интересно, что в тот момент стрелки часов были направлены прямо в противоположные стороны. Как долго грибник был в лесу?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

Ровно 6 часов.
Допустим, часы показывают между 9 и 10 часами и стрелки совмещены. Теперь мысленно перевернём часовую стрелку в противоположную сторону. Это будет равносильно тому, что пройдёт 6 часов. При этом часы будут показывать между 3 и 4 часами, а стрелки будут направлены прямо в противоположные стороны.

Как долго горели свечи?

Шахматная раскраска

Некоторые фигуры на рисунке должны быть чёрного цвета. Укажите какие именно, если известно, что на доске позиция мата и партия была реальной. Будьте внимательны, есть только одно правильное решение.

update

Первый - 67108864.
Ответ

Последний ход чёрных - b5:a4
Последний ход белых - b7:a8ЛX

Восстановите последние шаги.

Ход назад и мат

После хода белых на доске возникла ситуация, которая показана на рисунке. Но если бы игрок был внимательнее и сходил иначе, то чёрному королю был бы поставлен мат. Верните последний ход белых, после чего дайте мат в один ход.

update

Первым точный ответ дал Andrew Antonets.
Ответ

Позиция ходом ранее:

Далее белые ставят мат в один ход: 1. d7-d8КX!

В этой задаче нужно вернуть по одному ходу белым и чёрным.

Экзамен

На одной скамейке сидят шесть студентов и письменно готовят ответы на экзаменационные билеты. По обе стороны этой скамейки есть проходы. В случайном порядке студенты заканчивают отвечать на вопросы, после чего сдают работу и уходят. Найдите вероятность того, что кому-то из экзаменующихся придётся побеспокоить кого-нибудь из оставшихся пяти товарищей для того, чтобы выйти из-за парты.

update

Первый - 67108864.
Ответ

43/45.
Для шести студентов вероятность того, что первому закончившему отвечать на вопросы не придётся никого беспокоить равна 2/6. Для пяти студентов эта вероятность равна 2/5 и т.д. Вероятность же того, что кому-то придётся побеспокоить кого-то из остальных равна
1 - (2/6)*(2/5)*(2/4)*(2/3) = 43/45.

Стоит ли менять свой выбор?

На отлично

В ходе проверки успеваемости учеников школы выяснилось следующее:

69% на "отлично" знают физику;

74% на "отлично" знают литературу;

81% на "отлично" знают математику;

88% на "отлично" знают историю;

О каком проценте учеников заведомо можно сказать, что они на "отлично" знают все четыре предмета?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

12%.
Предположим, в школе всего 100 учеников. На этих учеников нужно распределить 69+74+81+88=312 оценок. При равномерном распределении на каждого ученика придётся по 3 оценки и ещё 12 оценок окажутся "лишними". Следовательно, как минимум 12 учеников являются отличниками по всем четырём предметам.

Про средний балл.

"Вредитель"

Эта интересная история произошла в одном из американских штатов. Вредитель, изображенный на картинке, уничтожал посевы местных фермеров. В результате чего фермеры ... установили памятник этому насекомому! Как это можно объяснить?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

История произошла в штате Алабама. Хлопковый долгоносик уничтожил посевы местных фермеров, после чего те вынуждены были выращивать другие культуры, в частности, арахис. Выращивание арахиса оказалось очень прибыльным делом, фермеры разбогатели и решили увековечить "вредителя".

Необычное требование.

Необычный итог референдума.

Ширмы

Математик решил отгородить один из углов прямоугольной комнаты. У него в наличии имеются две одинаковые ширмы, длина каждой из которых 4 м. При этом математик хочет сделать так, чтобы отгороженный участок комнаты имел максимально возможную площадь. Как ему следует расположить ширмы?

update

Первый - TheTriomo.
Ответ

Ширмы должны быть расположены на сторонах воображаемого правильного восьмиугольника. Площадь отгороженного угла при этом будет максимальна и равна 8(sqrt(2)+1) кв.м.

Найдите площадь фигуры.
Найдите длины сторон.
И сделайте разрез.

XO+1

Добавим в обычную игру крестики-нолики два нововведения. Во-первых, увеличим поле на одну клетку, как показано на рисунке. Во-вторых, если игрок хочет выиграть заняв нижний ряд, то он должен заполнить в нём четыре клетки. Остальные правила те же. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Ответ

При правильной игре выигрывает первый игрок. Пронумеруем клетки слева направо, сверху вниз. Первый игрок должен начинать с клеток 2 или 6.

Объёмные крестики-нолики.

Нерешение

Дано уравнение: 187x - 104y = 41. Известно, что одна из перечисленных ниже пар не является решением этого уравнения:

1) x=3, y=5;

2) x=107, y=192;

3) x=211, y=379;

4) x=314, y=565;

5) x=419, y=753.

Определите без вычислений какая именно.

update

Первым правильно ответил dbsergey.
Ответ

Поскольку разность двух членов, стоящих в левой части уравнения, равна нечетному числу 41, то один из этих членов должен быть нечётным, а другой чётным числом. Так как 104y чётно, то 187x нечётно, а значит, нечётен x. Следовательно, пара x=314, у=565 не удовлетворяет нашему уравнению.

Может ли такое число быть простым?