На 27 кубиков

Перед плотником стоит задача разрезать деревянный куб со стороной 30 см на 27 кубиков со стороной 10 см. Если зафиксировать соответствующим образом исходный куб, то можно легко распилить его на 27 нужных частей, сделав при этом всего шесть распилов. Теперь представим, что плотник может после каждого распила переставлять получившиеся части и фиксировать их в нужном для следующей операции положении. Какое наименьшее число распилов ему потребуется теперь?

update

Первый правильный ответ - dbsergey.
Ответ

6.
Для отделения центрального кубика от остальных потребуется 6 разрезов. Поэтому меньше, чем за 6 распилов сделать 27 кубиков не получится.

Про быстрый способ нахождения площади поверхности невидимого куба.

Сумма степеней

Чему равна сумма?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

2^(n+1) - 2.
Рассмотрим выражение в двоичной системе счисления. Искомая сумма будет записана с помощью n единиц и одного нуля. Если прибавить к нашей сумме ещё две единицы, то получится число, состоящее из одной единицы и n+1 нулей (в десятичной системе 2^(n+1)). Следовательно, наше выражение будет равно 2^(n+1) - 2.

И что больше?

Третий вид

Потренируем пространственное мышление. На рисунке изображены две проекции объёмной детали: вид спереди и вид слева. Как будет выглядеть вид сверху? Есть два решения.

update

Ответ

Подобное: вид слева и вид сверху.

Прогулка

Перед походом в лес грибник взглянул на часы и запомнил, что в тот момент было где-то между 9 и 10 часами утра, а стрелки часов были совмещены. Когда он вернулся домой, то опять взглянул на часы, на которых было между 3 и 4 часами дня. Интересно, что в тот момент стрелки часов были направлены прямо в противоположные стороны. Как долго грибник был в лесу?

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

Ровно 6 часов.
Допустим, часы показывают между 9 и 10 часами и стрелки совмещены. Теперь мысленно перевернём часовую стрелку в противоположную сторону. Это будет равносильно тому, что пройдёт 6 часов. При этом часы будут показывать между 3 и 4 часами, а стрелки будут направлены прямо в противоположные стороны.

Как долго горели свечи?

Шахматная раскраска

Некоторые фигуры на рисунке должны быть чёрного цвета. Укажите какие именно, если известно, что на доске позиция мата и партия была реальной. Будьте внимательны, есть только одно правильное решение.

update

Первый - 67108864.
Ответ

Последний ход чёрных - b5:a4
Последний ход белых - b7:a8ЛX

Восстановите последние шаги.

Ход назад и мат

После хода белых на доске возникла ситуация, которая показана на рисунке. Но если бы игрок был внимательнее и сходил иначе, то чёрному королю был бы поставлен мат. Верните последний ход белых, после чего дайте мат в один ход.

update

Первым точный ответ дал Andrew Antonets.
Ответ

Позиция ходом ранее:

Далее белые ставят мат в один ход: 1. d7-d8КX!

В этой задаче нужно вернуть по одному ходу белым и чёрным.

Экзамен

На одной скамейке сидят шесть студентов и письменно готовят ответы на экзаменационные билеты. По обе стороны этой скамейки есть проходы. В случайном порядке студенты заканчивают отвечать на вопросы, после чего сдают работу и уходят. Найдите вероятность того, что кому-то из экзаменующихся придётся побеспокоить кого-нибудь из оставшихся пяти товарищей для того, чтобы выйти из-за парты.

update

Первый - 67108864.
Ответ

43/45.
Для шести студентов вероятность того, что первому закончившему отвечать на вопросы не придётся никого беспокоить равна 2/6. Для пяти студентов эта вероятность равна 2/5 и т.д. Вероятность же того, что кому-то придётся побеспокоить кого-то из остальных равна
1 - (2/6)*(2/5)*(2/4)*(2/3) = 43/45.

Стоит ли менять свой выбор?

На отлично

В ходе проверки успеваемости учеников школы выяснилось следующее:

69% на "отлично" знают физику;

74% на "отлично" знают литературу;

81% на "отлично" знают математику;

88% на "отлично" знают историю;

О каком проценте учеников заведомо можно сказать, что они на "отлично" знают все четыре предмета?

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

12%.
Предположим, в школе всего 100 учеников. На этих учеников нужно распределить 69+74+81+88=312 оценок. При равномерном распределении на каждого ученика придётся по 3 оценки и ещё 12 оценок окажутся "лишними". Следовательно, как минимум 12 учеников являются отличниками по всем четырём предметам.

Про средний балл.

"Вредитель"

Эта интересная история произошла в одном из американских штатов. Вредитель, изображенный на картинке, уничтожал посевы местных фермеров. В результате чего фермеры ... установили памятник этому насекомому! Как это можно объяснить?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

История произошла в штате Алабама. Хлопковый долгоносик уничтожил посевы местных фермеров, после чего те вынуждены были выращивать другие культуры, в частности, арахис. Выращивание арахиса оказалось очень прибыльным делом, фермеры разбогатели и решили увековечить "вредителя".

Необычное требование.

Необычный итог референдума.

Ширмы

Математик решил отгородить один из углов прямоугольной комнаты. У него в наличии имеются две одинаковые ширмы, длина каждой из которых 4 м. При этом математик хочет сделать так, чтобы отгороженный участок комнаты имел максимально возможную площадь. Как ему следует расположить ширмы?

update

Первый - TheTriomo.
Ответ

Ширмы должны быть расположены на сторонах воображаемого правильного восьмиугольника. Площадь отгороженного угла при этом будет максимальна и равна 8(sqrt(2)+1) кв.м.

Найдите площадь фигуры.
Найдите длины сторон.
И сделайте разрез.