Сечение

На рисунке заштрихован результат пересечения треугольной пирамиды плоскостью. Возможно ли такое сечение?

update

Первый - dbsergey.
Ответ

Стороны сечения при продолжении пересекают переднее ребро пирамиды в двух разных точках. Этого не может быть, так как две плоскости пересекаются по прямой.

Про бруски, которые можно разъединить.

Перпендикуляр

Дана прямая и точка А на ней. Требуется с помощью циркуля и линейки без делений восстановить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку. При этом можно провести не более трёх линий, третьей линией должен быть искомый перпендикуляр.

update

Первым правильно ответил Константин Кноп.
Ответ

Цифрами обозначена последовательность построений.

Ещё парочка занимательных построений:

Как найти центр окружности?

Увеличение отрезка в два раза.

В полёте

Нильс ван Дейк.
American Chess Bulletin, 1954. Первый приз.
Мат в два хода.

update

Первым правильно ответил Andrew Antonets.
Ответ

1. Фb5! (угрожая: 2. Ф:c5X)

1. ... Сc2+
2. К:c2X

1. ... Кb7 (Кd7, Кe6, Кb3, Кa4, Кa6)
2. С:g1X

1. ... Кe4
2. Кf3X

1. ... Кd3
2. c3X

Задачи других композиторов:
Ефим Боголюбов.
Сэм Лойд.

Что? Где? Когда? Вторая игра летней серии 2013

Летняя серия 2013 года продолжается. С телезрителями играла команда Балаша Касумова.

Первый раунд. Суперблиц. За столом - Ровшан Аскеров.
Вопрос №1.
Закончите фразу императора Александра II: "Россией управлять не сложно, но ...".
Ответ
"... совершенно бесполезно".
Ровшан ответил неправильно. Счёт 0-1.

Второй раунд. 13-й сектор.
Жителям Соломоновых островов запрещают вырубать деревья. Как они добывают древесину?
Ответ
Они садятся вокруг дерева и начинают его ругать. Через некоторое время дерево погибает.
Знатоки ответили неправильно. Счёт 0-2.

Третий раунд.
Профессор факультета прикладной математики и теоретической физики одного британского университета Джон Барроу на теоретическом занятии пишет на доске такие формулы. Что объясняет профессор Барроу на примере этих формул?

Ответ
Оптимальное расположении гребцов в лодке во время соревнований по гребле.
Знатоки ответили неправильно. Счёт 0-3.

Смесь

Имеется две емкости вместимостью 1 л и 2 л. Из содержимого этих емкостей можно сделать 0,5 л смеси, которая будет на 40% состоять из апельсинового сока, и 2,5 л смеси, с 88% апельсинового сока. Каково процентное содержание сока в емкостях?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

40% и 100%.
Из условий понятно, что в одной ёмкости крепость смеси не более 40%. Также очевидно, что в 2,5 л должно быть 0,5 л более слабой смеси. Следовательно, процентное содержание сока в полученных 2,5 л смеси не может превышать ((0,5*0,4+2)/2,5)*100% = 88%. То есть в первой ёмкости была 40% смесь, а во второй - 100%.

После этого попробуйте разобраться со сплавами.

Без вычислений

Продолжите последовательность:

101, 112, 131, 415, 161, 718, ...

Без сложных математических вычислений.

Ещё - 1, 11, 21, ..., 3112, 211213, 312213, 212223, ...

update

Быстрее всех был @arturdubro в твиттере.
Ответ

192. Последовательно выписаны целые числа, начиная с 10, а запятые расставлены через 3 цифры.

Обгоны

Из точек А и В одновременно навстречу друг другу начали двигаться два объекта. Как только какой-то из объектов оказывается в точке А или В, он меняет направление своего движения на противоположное. Объект, первоначально начавший двигаться из А, преодолевает расстояние АВ за 101 секунду. Другой объект то же расстояние преодолевает за 201 секунду. По прошествии 2*101*201 секунд каждый объект окажется в исходной точке. Затратами времени на развороты и обгоны пренебрегаем, абсолютные значения скоростей обоих объектов постоянны. Какое количество раз за это время первый объект обгонит второй?

update

Первый - svarog-777.
Ответ

100.
Можно рассматривать дорогу, как окружность, по которой движутся объекты в одном и том же направлении не меняя скоростей. Первый объект проходит окружность за 2*101 с, второй - за 2*201 с. Пусть x1 и x2 - скорости объектов, L - длина "окружности". В системе отсчёта относительно второго объекта, первый начинает двигаться из противоположной точки со скоростью x1-x2 и заканчивает движение там же. Число обгонов можно посчитать следующим образом:
2*101*201*(x1-x2)/L = (2*101*x1/L)*201 - (2*201*x2/L)*101 = 201-101 = 100

Про быструю почту.

Причуды календаря

Позавчера Дмитрию было 9 лет, а в следующем году ему исполнится 12. Как такое оказалось возможным?

update

Быстрее всех был Gennady.
Ответ

День рождения у Дмитрия 31 декабря. Если сегодня 1 января, то позавчера (30 декабря) Дмитрию было 9 лет, вчера (31 декабря) исполнилось 10, в этом году 31 декабря исполнится 11, а в следующем году 31 декабря исполнится 12.

Другие задачи про возраст:
Возраст и количество детей.
Сколько лет?

Что? Где? Когда? Первая игра летней серии 2013

Вопросы и ответы первой игры летней серии 2013. С телезрителями играла команда Константина Рудера.

Первый раунд. Чёрный ящик.
В чёрном ящике находится существо необычайно коварное и опасное. Пока не приручен, он крутится, прыгает, изгибается, полощется в грязи, которую сам развёл, потом бросается на человека и обвивается вокруг его ноги. Приходится наступить на него, тогда он становится на дыбы и обвивается вокруг поясницы и шеи. Так описал это существо Карел Чапек. Что в чёрном ящике?
Ответ
Шланг для полива.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-0.

Второй раунд. Блиц.
Вопрос №1.
Григерия - краткая метафора испанского писателя Рамона Гомеса де ла Серна. Первая григерия. Платок, которым махнули вслед кораблю. Кого так назвал Рамон Гомес де ла Серна?
Ответ
Чайку.
Знатоки ответили неправильно. Счёт 1-1.

Третий раунд.
Перед вами экспонат этнографического музея в городе Тальцы. В начале 20 века сибирский крестьянин приобрёл это немецкое чудо техники на ярмарке. Не зная что это, он использовал это по-своему. Для чего предназначено это устройство и как его решил использовать крестьянин?

Ответ
Это стиральная машина, а крестьянин использовал её в качестве маслобойки.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Логичные выборы

Представители клуба любителей логики выбирают лидера своего клуба. Регламент выборов предусматривает двухступенчатую схему - если в первом туре ни один из кандидатов не набирает более половины голосов, то проводится второй тур. Во втором туре участвуют два кандидата, набравшие наибольшее число голосов в первом туре. Все участники разделились на три группы, в которые входят соответственно 49%, 33% и 18% логиков от общего числа членов клуба. Каждая группа предложила своего кандидата, соответственно, А, Б и В. Всем известно, что сторонники В, в случае неуспеха своего кандидата в первом туре, в дальнейшем будут поддерживать Б. Сторонники Б, в случае неудачи в первом туре, во втором разделят голоса примерно поровну между А и В. Количество логиков-любителей достаточно велико. Кто станет лидером клуба?

update

Первым правильно ответил Антон.
Ответ

При "нормальном" голосовании после первого тура остаются А и Б, а во втором туре выигрывает Б. Поэтому для победы кандидата А его сторонники в первом туре должны отдать часть голосов (больше 15% и меньше 16%) за В. Тогда во второй тур выйдут А и В, где А легко побеждает.

Сколько всего лжецов среди делегатов съезда?