Фальшивая монета и неточные весы

Среди девяти одинаковых на вид монет есть одна фальшивая - она легче остальных. Также в нашем распоряжении есть чашечные весы в количестве двух штук. На первых весах определить фальшивую монету не получится, так как их точность не позволяет определить разницу в весе. Другие весы точнее и разница в весе на них будет заметна. Нам неизвестно где какие весы. Как с помощью всего трёх взвешиваний определить фальшивую монету?

update

Первым правильно ответил Илья.
Ответ

Пронумеруем монеты от 1 до 9. Кладём на первые весы по четыре монеты на каждую чашу: (1,2,3,4) и (5,6,7,8). Если одна группа монет перевесила, то мы нашли точные весы и далее за два взвешивания легко находим фальшивую монету из четырёх. Пусть весы оказались в равновесии. Тогда на вторых весах взвешиваем (1,2,3) и (5,6,7). Худший вариант - весы опять в равновесии. Тогда на вторых весах сравниваем монеты 4 и 8. В случае равновесия фальшивой будет монета 9.

Фальшивая монета и монета с царапиной.

Муха

Нашёл хорошее продолжение классической задачи про велосипедистов и муху.

Из городов А и В, расстояние между которыми 50 км, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста. Первый велосипедист (выехал из А) перемещается с постоянной скоростью 30 км/ч, второй (выехал из В) - со скорость 20 км/ч. Одновременно с первым велосипедистом из А вылетает муха и летит до встречи со вторым велосипедистом со скоростью 50 км/ч, затем муха разворачивается и летит к первому велосипедисту со скоростью 40 км/ч. Затем от первого ко второму опять со скоростью 50 км/ч и так далее. Какой суммарный путь пролетит муха до момента встречи велосипедистов?

update

Первым правильно ответил Fred.
Ответ

47,(7) км.
Велосипедисты встретятся через 50/(30+20) = 1 ч. Пусть суммарный путь, который муха пролетела от А к В, равен x (км). Так как велосипедисты встретились в 30 км от А и муха в этот момент находилась в той же точке, то суммарный путь, который муха пролетела по направлению от В к А, равен x-30 (км). Так как муха летела 1 ч, то можно составить следующее уравнение
x/50 + (x-30)/40 = 1
Откуда получаем, что x = 350/9 км, а суммарный путь мухи равен x + (x-30) = 47,(7) км.

Что? Где? Когда? Третья игра весенней серии 2009

Против телезрителей играла команда Андрея Козлова.

Первый раунд. Блиц.
Вопрос №1.
Что предстало перед фотообъективом?

Ответ
Капля молока в момент присоединения к остальному молоку.
Знатоки ответили правильно.

Вопрос №2.
Что запечатлела фотокамера?

Ответ
Газовую горелку в момент включения.
Знатоки ответили правильно.

Вопрос №3.
Перед вами древнее китайское приспособление. Что это?

Ответ
Компас.
Знатоки ответили правильно. Счет 1-0.

Второй раунд.
Перед вами экспонат из школьного музея деревни Васькино. Таким "фартуком" в деревне Васькино в былые годы пользовались женщины. Для чего он им был нужен?

Ответ
В прежние времена молодым мамам приходилось выходить на работу в поле с грудными детьми. Детей нужно было кормить, а вокруг были мужчины. Женщины с помощью этого "фартука" прикрывали грудь от посторонних взглядов.

Знатоки ответили неправильно. Счет 1-1.

Третий раунд.
Если бы абориген племени Кабон, проживающего в Папуа-Новой Гвинеи, переводил для своих сородичей игру "Что? Где? Когда?", то в какой-то момент он произнёс бы фразу, которая дословно переводится на русский язык так: "один раз по руке и до ключицы на другой стороне". В какой момент игры переводчик сказал бы эту фразу?
Ответ
Когда выпал 13-й сектор (так у племени обозначается число 13).
Знатоки ответили неправильно. Счет 1-2.

15

На девяти листочках бумаги, разложенных на столе, написаны цифры, как показано на рисунке. Играют двое и ходят по очереди. За один ход разрешается взять один лист с любой цифрой. Выигрывает игрок, у которого окажется три листа с суммой цифр, равной 15. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

update

Первым правильно ответил Медалист.
Ответ

Нужно расположить листочки в виде магического квадрата, в котором сумма чисел в любой строке, столбце и диагонали равна 15. Можно заметить, что никакие другие тройки не дают в сумме 15. Теперь игра превращается в обычные крестики-нолики и партию всегда можно свести вничью.

"Шоколадная" игра.

Угол

Чему равен угол ABC, если A, B и C - середины рёбер куба?

update

Первым правильно ответил svarog-777.
Ответ

120.
Треугольник BCE равносторонний, поэтому угол CBE равен 60 градусам. Следовательно, искомый угол ABC, как сопряженный, равен 120 градусам.

И ещё две задачи на скорость:
Угол между диагоналями куба.
Длина гипотенузы.

Шахматная разминка

Белые начинают и делают мат в два хода. Замысел этой композиции получил название темы Флека. Автор - Н. ван Дийк, 1948 год.

update

Первый - svarog-777.
Ответ

1. Сd1 ...

1. ... Сg2
2. Лe1X

1. ... С:f1
2. Л5f3X

1. ... Сg4
2. Лe5X

1. ... С:f5
2. Л1f3X

Восстановите ходы партии.

Уравнение

Решите уравнение:

update

Первый - 67108864.
Ответ

Ещё немного алгебры:
Найдите x и y в равенстве.
Упростите выражение.

Грибник

Грибник пошёл в лес, который будем считать полуплоскостью, и заблудился. Известно, что расстояние от грибника до границы леса не более двух километров. Нарисуйте путь, по которому должен двигаться грибник, чтобы наверняка выбраться из леса и пройти при этом не больше 13 километров.

update

Ответ

Допустим, грибник находится в точке О. Тогда OABCDE - путь, который гарантирует выход из леса. Этот путь имеет общие точки с любой касательной к окружности радиуса 2 км с центром в точке О. Его длина не более 12,83 км.

В каком месте построить мост?
Кратчайший путь для муравья.

Что? Где? Когда? Вторая игра весенней серии 2009

Против телезрителей играла команда Елены Потаниной.

Первый раунд.
Кудал - это сосуд, в котором на Кавказе носят воду из родника. Почему эти сосуды делают разной формы?

Ответ
Издавна у горцев родники были местом встреч, где молодые люди приглядывали себе невест. По форме кудала определяли можно познакомиться с ней или нет. Незамужние девушки ходили за водой с сосудами с тонкой талией, а с сосудами без талии ходили замужние женщины.
Знатоки ответили неправильно. Счет 0-1.

Второй раунд. Чёрный ящик.
В чёрном ящике находится половинка такая же, какую носил с собой в кармане похоронный агент Оскар Фукс. Что в чёрном ящике?
Ответ
Половинка луковицы, с помощью которой агент вызывал у себя слёзы.
Знатоки ответили правильно. Счет 1-1.

Третий раунд. Блиц.
Вопрос №1.
Если вы должны 50 долларов - вы злостный должник, если 50 тысяч долларов - вы мелкий предприниматель, если 50 миллионов - вы корпорация. А кто вы, если ваш долг 50 миллиардов долларов, с точки зрения историка Уайта-младшего?
Ответ
Правительство.
Знатоки ответили правильно.

Вопрос №2.
Жизнь длинна, когда у вас одна болезнь ... Закончите китайскую поговорку.
Ответ
... и коротка, если ни одной. (Имеется в виду, что человек не следит за своим здоровьем.)
Знатоки ответили неправильно. Счет 1-2.

Радиоактивность

В лабораторию для анализа поступило 18 одинаковых предметов. Доподлинно известно, что 2 из них радиоактивны. Тестировать на радиоактивность можно любое количество предметов одновременно, но если во время теста их будет несколько, то нельзя определить какой именно из них радиоактивен. Как за 8 тестов найти оба радиоактивных предмета?

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Разделим всю задачу на несколько отдельных.
Задача №1.
Находим два радиоактивных предмета из 18 за восемь тестов.
Проверяем пять любых предметов. Если радиоактивности нет, то переходим к задаче №2. В противном случае проверяем два из этих пяти предметов. Это второй тест. Если нет радиоактивности, то за два теста находим один радиоактивный из трёх оставшихся. Затем из 13 предметов находим один радиоактивный за четыре теста. Аналогично поступаем, если при второй проверке радиоактивность есть.
Задача №2.
Находим два радиоактивных предмета из 13 за семь тестов.
Проверяем четыре любых предмета. Если радиоактивности нет, то остаются девять предметов и шесть тестов и переходим к задаче №3. Если радиоактивность есть, проверяем два из этих четырёх предмета, а затем находим хотя бы один радиоактивный из четырёх. Объединив все оставшиеся предметы, за четыре теста находим из 12 один радиоактивный.
Задача №3.
Находим два радиоактивных предмета из девяти за шесть тестов.
Проверяем три любых предмета. Если радиоактивности нет, то найти из шести предметов два радиоактивных за пять тестов проблем не составит. Если же эти три показывают радиоактивность, то проверяем на радиоактивность последовательно по отдельности два из них. Если хотя бы один из них радиоактивен, то задача становится очевидной - находим из оставшихся восьми один радиоактивный с помощью метода деления пополам.

Как найти монету, которая отличается по весу от остальных?