Бесконечные дроби

Небольшая проверка школьных знаний. Требуется разделить 8,0(48) на 0,0(04). Интересно, что ответ здесь легко угадывается, а вот способ решения не очевиден.

update

Первый - Дмитрий.
Ответ

1992.
Один из вариантов решения:
8,0(48) = 8 + 0,048 + 0,00048 + ... = 8 + S1
0,0(04) = 0,004 + 0,00004 + ... = S2
S1 и S2 - бесконечно убывающие геометрические прогрессии с q = 0,01.
S1 = 0,048/(1-0,01) = 48/990
S2 = 0,004/(1-0,01) = 4/990
8,0(48)/0,0(04) = (8+S1)/S2 = 1992

Заодно решите уравнение и упростите выражение.

7-ка всё портит

Определите закономерность в этой последовательности и найдите число, которое должно стоять вместо знака вопроса.

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

12.
Каждое следующее число в нижней строке получается суммированием цифр двух чисел, от которых приходят стрелки.

Ещё одна последовательность.

Немного Своей игры

Несколько интересных фактов.

(Знаки) Знак, нашитый на гимнастёрке бойца над орденами означает именно это.

Ответ
Ранение.

Площадь пересечения

Чему равна площадь пересечения двух одинаковых квадратов на рисунке, если длина стороны каждого равна 2, а точка О является центром одного из них?

update

Быстрее всех был Eugene Dobrovolskyi.
Ответ

Площадь пересечения равна четверти площади квадрата, то есть 1 кв.ед. Это видно из следующего рисунка.

Чему равна площадь шестиугольника?

Магический квадрат

В каждой из девяти ячеек большого квадрата размером 3x3 лежит по одной фишке с цифрой от 1 до 9. В свою очередь, на каждом из восьми отрезков, которые отмечены пунктиром, лежит по три фишки. Сумма цифр каждой такой триады равняется 15. Переложите фишки так, чтобы они образовали восемь триад, через которые можно было бы провести прямые отрезки, но сумма цифр каждой такой триады равнялась бы 16. При этом в каждой ячейке большого квадрата по-прежнему должно быть по одной фишке.

Ещё две головоломки:

Про астероиды.

Про 16 точек.

Цвет пешки

Известно, что за время игры никакая из фигур не перемещалась с тёмной клетки на светлую и наоборот. В результате возникла позиция показанная на рисунке. Какого цвета должна быть пешка на g3? Чёрного или белого? В данном случае ретроанализ не так сложен, как может показаться на первый взгляд.

update

Быстрее всех был dander в твиттере.
Ответ

Пешка чёрного цвета. Видно, что две белые пешки не ходили. Покинуть своё начальное расположение белый король мог только в результате короткой рокировки (длинная не подходит, так как ладья сменила бы цвет поля). Аналогично уйти с поля g1 после рокировки король мог только в отсутствии белых пешек на h2 и g3. Следовательно, на g3 может быть только чёрная пешка.

Похожая головоломка - какие из фигур чёрные?

Исчезновение лепрекона

Ещё одно красиво оформленное исчезновение.

Посчитайте лепреконов:

Теперь поменяйте местами два верхних прямоугольника и снова подсчитайте сказочных персонажей:

Картинки из той же серии:

Лица

Воины, охотники и львы

Исчезнувшая палочка

0123456789

С помощью набора цифр от 0 до 9, каждая из которых используется только один раз, и знаков арифметических действий нужно составить выражение равное 1.

update

Быстрее всех был dander в твиттере.
Ответ

Один из множества вариантов: 9-8+7-6+5-4-3+2-1+0=1

Пара похожих задач:

13 из четырёх четвёрок 

1/3 из набора цифр

Расстояние между столбами

Два столба стоят вертикально на ровной поверхности на некотором расстоянии друг от друга как показано на рисунке. Высота одного столба равна 15 м, высота другого - 10 м. Чему равно расстояние AB между столбами, если известно, что высота точки M над поверхностью равна 6 м?

update

Первым правильно ответил Дмитрий.
Ответ

Расстояние может быть любым.
Из подобия треугольников ABC и NBM следует, что MN/15=NB/AB.
Из подобия треугольников BAD и NAM следует, что MN/10=NA/AB.
Складывая левые и правые части получаем:
MN/15+MN/10=(NB+NA)/AB
(10MN+15MN)/150=1
MN=6
Таким образом MN=6 при любом значении AB.

Ещё немного геометрии - чему равна высота треугольника?

Тема Домбровскиса

Автор - А. Слесаренко, 1991 год. Белые начинают и ставят мат в два хода.

update

Первый - svarog-777.
Ответ

1. Кd7, Крa5
2. Фa3X

1. ... a5
2. Кb6X

Угроза белых 1. Крb2? - 2. Фa3X отражается защитой 1. ... Крa5! В решении же всё наоборот. Такая перемена функций ходов получила название темы Домбровскиса.

Тема Флека.