Шнурок

На полу лежит шнурок. В темноте не видно каким образом его части пересекаются в точках A, B и C. Насколько вероятно получить узел, если потянуть за концы этого шнурка?

update

Первый - Илья.
Ответ

1/4.
Представим, что мы двигаемся по шнурку слева направо. Во время движения в каждой из трёх точек можно находится или "над" пересечением или "под" ним. Эти состояния в каждой точке можно обозначить 0 и 1. Всего возможно восемь комбинаций: 000, 001, ..., 111. Из них к узлу приведут только две: 010 и 101. То есть искомая вероятность равна 2/8=1/4.

Шахматы Мёбиуса

Шахматная доска имеет вид ленты Мёбиуса как показано на рисунке. На ленте нет других фигур кроме тех, что видны. Направление хода пешки безразлично. Белые начинают и ставят мат в два хода.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Белый ферзь идет "по часовой стрелке" вдоль ленты, бьет коня рядом с черным королем, шах. Черный слон "связан" белой ладьей с "нижнего" сегмента ленты, поэтому единственный ответ черных - король забирает коня у внутреннего края ленты. После чего белая ладья с внутреннего ряда ленты "против часовой стрелки" забирает черного ферзя. Мат.

Похожее - шахматы на цилиндрической доске.

48 шариков в 30 коробках

Перед вами в ряд выставлено 30 коробок. У вас в наличии есть 48 шариков. Все имеющиеся шарики нужно разложить по коробкам. Их число в коробке может быть произвольным, но в каждой должен оказаться хотя бы один шарик. Докажите, что в итоге найдётся последовательность стоящих друг за другом коробок, суммарное число шариков в которых будет равным 11.

update

Первый - Илья.
Ответ

Запишем на каждой коробке суммарное число шариков в ней и во всех предыдущих. Получим 30 чисел из диапазона от 1 до 48. Далее на каждой коробке запишем ещё по одному числу, которое равно сумме уже написанного и числа 11. Получим ещё 30 чисел, максимальное из которых 48+11=59. Таким образом, мы получили 60 чисел из диапазона от 1 до 59. То есть два каких-то числа будут равны между собой. А равенство двух чисел означает, что в соответствующей последовательности коробок лежит ровно 11 шариков.

Диаметр

Окружности и квадраты вписаны друг в друга как показано на рисунке. Чему равен диаметр меньшей из окружностей, если известно, что диаметр большей равен 10? Есть хорошее наглядное решение, попробуйте найти.

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Диаметр меньшей окружности равен 5.
Если повернуть меньший квадрат на 45 градусов, то становится очевидно, что его сторона равна радиусу большей окружности, то есть 5. Вместе с этим длина его стороны равна диаметру меньшей окружности. Таким образом искомый диаметр тоже равен 5.

6 или не 6

Игральную кость бросили пять раз подряд. Что более вероятно, выпадение шестёрки ровно один раз или же полное отсутствие шестёрок?

update

Первый - Илья.
Ответ

Вероятность событий одинаковая.
Вероятность, что шестёрок не будет, равна (5/6)^5.
Вероятность, что шестёрка выпадет только один раз, равна
5*(1/6)*(5/6)^4 = (5/6)^5.

Продолжение темы с игральной костью - чему будет равна сумма очков?

Пять точек

Дан правильный треугольник с длиной стороны 6 см. Внутри этого треугольника (включая границы) произвольно выбрали пять точек. Если рассматривать две самые близкие друг к другу точки, то какое максимальное расстояние может быть между ними?

update

Первым доказал Илья.
Ответ

Разделим исходный треугольник на четыре равных правильных треугольника со стороной 3 см как показано на рисунке. Так как маленьких треугольника четыре, а точек пять, то в одном из них будет две точки. Максимальное расстояние между этими точками будет равно 3 см.

Докажите, что найдутся две точки...

Что? Где? Когда? Финал летней серии 2009

Против телезрителей играла команда Елены Потаниной.

Первый раунд.
Перед вами фрагмент голландской гравюры. На этой гравюре изображена московская улица 1700 года. Для чего у входа в арку этого дома повесили чучело?

Ответ
Чтобы все знали в каких платьях теперь нужно ходить. Петр I вводил моду на европейские платья.
Знатоки ответили правильно. Счет 1-0.

Второй раунд. Чёрный ящик.
В чёрном ящике находится современный предмет, на котором изображено то, что ввёл своим указом ещё Александр II. Для того, чтобы легче было разбираться с жалобами граждан на городовых унтер-офицеров. Что изображено на предмете в чёрном ящике?
Ответ
Индивидуальный номер. Жалобы было разбирать затруднительно, так как по приметам все городовые в форме похожи. Александр II повелел присвоить каждому городовому индивидуальный номер, который размещался на медной бляхе.
Знатоки ответили неправильно. Счет 1-1.

Третий раунд.
Она состоит из кристаллов в форме пирамидок, вершины которых направлены внутрь. Если кристаллы подвергаются внешней атаке, то они начинают давить друг на друга, сокращают расстояния между собой и она становится только прочней. И напротив, если давление происходит изнутри - кристаллы распадаются и она легко разрушается. Вы не раз подвергали её внешней атаке. Кому приходилось давить на неё изнутри?
Ответ
Цыплёнку. Речь идёт о скорлупе.
Знатоки ответили правильно. Счет 2-1.

100 монет

На столе лежат монеты в количестве 100 штук на общую сумму 5 рублей. Среди них встречается три разных номинала: 1 копейка, 10 копеек и 50 копеек. Сколько монет каждого достоинства лежит на столе?

update

Первый - Илья.
Ответ

1 коп. - 60 шт.; 10 коп. - 39 шт.; 50 коп. - 1 шт.
Пусть X, Y и Z - количество монет достоинством в 1, 10 и 50 копеек, соответственно.
Получаем:
X+Y+Z=100
X+10Y+50Z=500
Откуда:
9Y+49Z=400
Видно, что число полтинников (Z) меньше 10. Единственным числом меньшим 10, для которого значение 400-49Z делится на 9, будет 1. То есть Z=1. Из начальных уравнений получаем: Y=39, а X=60.

И ещё одна задача про монеты.

... ящерица, Спок

Двое сыграли десять раундов в "камень-ножницы-бумага". Первый игрок за всю игру три раза показал "камень", шесть раз "ножницы" и один раз "бумагу". У второго игрока было два "камня", и по четыре раза "ножницы" и "бумага". Ничьих не случалось. Кто в итоге победил?

update

Первым был Дмитрий.
Ответ

Выиграл первый со счётом 7:3

Четыре вопроса

Своя игра. Проверка знаний:

(Два значения) В Древней Греции это можно было зарыть в прямом смысле, в наше время - в переносном.

(Имя города) Павел I вернул городу название Ахтиар; Николай I отменил решение папеньки, вновь дав городу это гордое имя.

(Ночная тема) В полутьме таксист было принял музыкальные инструменты в футлярах за оружие. Вот группа и назвалась именно так.

(Флора) На растяжение этот злак прочнее стали в 11 раз.

update

Ответы

1. Талант.
2. Севастополь.
3. Ночные снайперы.
4. Бамбук.