3 из 9 из 20

Попробуйте доказать, что из девяти произвольно выбранных вершин правильного 20-угольника по крайней мере три обязательно будут являться вершинами равнобедренного треугольника.

update

Первый - Илья.
Ответ

Обозначим вершины A, B, C, D, A, B, C, D и так далее. В этом случае каждая метка будет определять правильный пятиугольник. Из девяти выбранных нами вершин, по крайней мере, три будут иметь одинаковую метку. Теперь рассмотрим три любых вершины правильного пятиугольника. Отметим, что расстояние между вершинами правильного пятиугольника может иметь только два разных значения. Таким образом, между тремя вершинами такого пятиугольника два расстояния обязательно будут равны. Что и требовалось доказать.

Игра в 2000-угольник.

Стрелки

Предположим, что у нас есть часы, минутная и часовая стрелки которых имеют одинаковую длину. Сколько раз в течение суток мы не сможем определить время, при условии, что всегда знаем когда возникла ситуация - до или после полудня?

update

Ответ

264.
Представим себе два циферблата, у которых все стрелки одинаковые. Пусть первые часы работают нормально, а вторые часы идут со скоростью в 12 раз превышающей обычную. В этом случае часовая стрелка быстрых часов всегда будет совпадать с минутной стрелкой нормальных. Так как все стрелки одинаковые, то неоднозначность будет возникать каждый раз, когда на обоих часах будет одинаковая картинка. При этом нужно исключить случаи, когда стрелки совпадают. В период от полуночи и до полудня минутная стрелка быстрых часов сделает 144 оборота, за это же время часовая стрелка обычных часов сделает один оборот. Таким образом, двое воображаемых часов покажут одинаковую картинку 143 раза. В течение этого времени стрелки нормальных часов совпадут 11 раз, поэтому общее число неоднозначных показаний будет равно 143-11=132. За сутки же это число увеличится в два раза, и будет равно 264.

12 монет

Из 12 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Она отличается по весу, но неизвестно в какую сторону. То есть может быть как легче, так и тяжелее остальных. Как с помощью трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

update

Первый - Dendr. Ответ в комментариях.


Из этой же серии - одна настоящая монета.

Вирус

На начальном этапе все клетки квадратной сетки размером 10 на 10 делятся на здоровые и заражённые. Но вирус распространяется и на каждом новом этапе клетка становится заражённой, если среди её ортогональных соседей имеется две и более инфицированных клетки. Например, на рисунке белым цветом обозначены здоровые клетки; красным - заражённые; а жёлтым - клетки, которые будут инфицированы на следующем этапе. Каким должно быть наименьшее число заражённых клеток, чтобы инфекции удалось распространиться по всей сетке?

update

Ответ

10.
Периметр зараженной площади на новых этапах не увеличивается. Так как общий периметр сетки равен 4*10=40, то и изначальный периметр всех зараженных клеток должен быть не меньше 40. То есть нам понадобится минимум 10 клеток. Простой пример их расположения - по диагонали сетки.

Как замостить фигуру плитками?

Выборы

Выборы были организованы таким образом, что каждый избиратель писал на своём бюллетене имена N кандидатов. Далее этот бюллетень помещался в одну из N+1 избирательных урн. При подсчёте голосов было отмечено, что каждая урна содержала по крайней мере один бюллетень. Также установлено, что если из каждой урны случайно выбрать по одному бюллетеню, то имя одного из кандидатов обязательно бы присутствовало во всех N+1 выбранных бюллетенях. Докажите, что в этом случае существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

update

Первый - Dendr.
Ответ

Предположим, что нет такого кандидата, чьё имя обязательно будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн. Возьмём произвольный бюллетень в первой урне. В нём перечислено N кандидатов. Обозначим их числами от 1 до N. Исходя из нашего предположения мы теперь может найти во второй урне бюллетень, в котором не будет кандидата 1; в третьей урне найдётся бюллетень, в котором не будет кандидата 2 и так далее. Соберем эти N+1 бюллетеней вместе. Получается, что из каждой урны выбрано по одному бюллетеню, но не найдётся ни одного кандидата, чьё имя присутствовало бы на всех выбранных бюллетенях. А это противоречит условию задачи. Следовательно, наше изначальное предположение неверно. То есть, существует имя кандидата, которое будет присутствовать на всех бюллетенях хотя бы одной из урн.

И ещё - логичные выборы.

Что? Где? Когда? Вторая игра весенней серии 2004

Против телезрителей играла команда Андрея Козлова.

Первый раунд.
Мы с вами сталкиваемся с ними довольно часто. И хотя обращаться с ними очень просто, на некоторых из них можно встретить инструкцию по использованию. Причём на одной и той же может быть сразу две инструкции, которые полностью противоречат друг другу. О чём идёт речь?
Ответ
О дверях.
Знатоки ответили правильно. Счёт 1-0.

Второй раунд.
"Актёру надо давать свободу. Он должен творить." - так считал Константин Сергеевич Станиславский. "У актёра не должно быть свободы. Он должен быть инструментом в руках режиссёра." - так утверждал Всеволод Эмильевич Мейерхольд. В каком произведении нашли своё отражение позиции этих двух выдающихся театральных режиссёров 20 века?
Ответ
В сказке "Золотой ключик".
Знатоки ответили неправильно. Счёт 1-1.

Третий раунд. 13-й сектор.
Слепой Гомер спросил рыбаков: "Что вы делаете?" Они ответили: "Всё, что поймаем, - отбросим; чего не поймаем - уносим." Что делали рыбаки?
Ответ
Два рыбака сидели на берегу Иоса и обирали вшей.
Знатоки ответили правильно. Счёт 2-1.

Три квадрата

Длина синих спичек в два раза превышает длину оранжевых. Толщину можно не учитывать. Как, используя по четыре спички каждого цвета, получить три квадрата одинакового размера без лишних элементов?

update

Первый - Медалист.
Ответ

Шахматы и живопись

Молодой человек на картине размышляет над следующей двухходовкой.

Поможем ему.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Первым ходом белые ставят коня на d4.

Лабиринт

Лабиринт имеет размеры 8 на 8 клеток. Вы находитесь в левом нижнем углу. Выход расположен в правом верхнем углу. За один ход можно переместиться в направлении стрелки в соседнюю клетку. После того, как вы ушли из клетки, направление в ней меняется на 90 градусов по часовой стрелке. Если границы лабиринта мешают двигаться дальше, то вы остаётесь в клетке, а направление в ней поворачивается на 90 градусов по часовой стрелке и следующий ход можно сделать в новом направлении. Докажите, что из этого лабиринта можно выбраться при любом начальном положении стрелок в клетках.

update

Первый - Andrew Antonets.
Ответ

Предположим, что вы останетесь в лабиринте навсегда. Так как число клеток конечно, то по крайней мере одну из них вы посетите бесконечное число раз. А так как направление в этой клетке меняется после каждого посещения, то все смежные клетки вы также посетите бесконечное число раз. И так далее. Таким образом правую верхнюю клетку вы также посетите бесконечное количество раз. Но в какой-то момент она будет указывать на выход. Следовательно, остаться в лабиринте навсегда нельзя.

Ещё один лабиринт.

105 монет

На столе лежат три кучки монет. В первой - 51 монета, во второй - 49, в третьей - 5. Разрешается либо объединять две кучки в одну, либо разделять группу с чётным числом монет на две одинаковые кучки. Можно ли в результате многократного повторения таких манипуляций получить 105 отдельно лежащих монет? И если можно, то какой должна быть последовательность действий?

update

Первый - Медалист.
Ответ

Нельзя.
Если сложить 51 и 49, то получится 100 и 5 - два числа, делящихся на 5. Любые операции сложения или деления на 2 будут приводить к числам, делящимся на 5, то есть до 1 не добраться. Аналогично при сложении 51 и 5 получаем 56 и 49 - делятся на 7. Аналогично при сложении 49 и 5 получаем 51 и 54 - делятся на 3.