среда, 14 августа 2013 г.

Посты ДПС

Знак
Грузовая машина выезжает из пункта А в пункт Б, после прибытия в Б она разворачивается и едет обратно. Одновременно с грузовой машиной из пункта Б в пункт А начинает движение легковая машина, которая доехав до А разворачивается и следует в Б. Скорости машин постоянны. Первый раз машины поравнялись на расстоянии 55 км от пункта А, второй раз - на расстоянии 85 км от пункта Б. На расстоянии 25 км от пункта Б находится пост ДПС, ещё один пост ДПС находится на некотором расстоянии от пункта А. Выехав из своих пунктов, машины одновременно проехали мимо ближайших постов ДПС. Чему равно расстояние между постами ДПС?

update
Первым правильно ответил Медалист.
Ответ
170 км.

Возможны три случая.
1. К моменту второй встречи машины проехали по одному разу весь путь. Пусть S - расстояние между А и Б. К первой встрече суммарный путь двух машин будет равен S, ко второй - 3S. Грузовая машина проехала 55*3 = 155 км = S+85, то есть S = 80 км. Значит, вторая встреча не могла быть на расстоянии 85 км от пункта Б.
2. Допустим, второй раз грузовая машина догнала легковую. Тогда её скорость должна была превышать скорость легковой более чем вдвое и путь, который проехала легковая машина к моменту первой встречи, был бы менее половины пути грузовой машины, то есть меньше, чем 55*0,5 = 27,5 км, то есть расстояние между пунктами А и Б будет меньше, чем 55+27,5 = 82,5 < 85 км. Этот случай также невозможен.
3. Остаётся случай, когда легковая машина догнала грузовую. Отношение путей, которые проехали машины за равные промежутки времени, постоянно и равно отношению их скоростей, то есть 55/(S-55) = (S-85)/(2S-85). Воспользуемся следующим свойством пропорций: если a/b = c/d, то a/b = (c-2a)/(d-2b). Тогда 55/(S-55) = (S-85)/(2S-85) = (S-195)/25. Следовательно, когда лековая машина проехала 25 км, грузовая проехала S-195 км и оказалась на расстоянии 195 км от пункта Б. Получается, что расстояние между постами ДПС 195-25 = 170 км.

Про расстояние, время и скорость:
Про муху и велосипедистов.
Какое количество раз первый обгонит второго?

10 комментариев:

  1. "второй раз - на расстоянии 85 км от пункта Б"
    невозможно, в этом случае расстояние АБ = 80 км

    может быть, на расстоянии от пункта А?
    тогда АБ = 125 км, а ДПС = 125 - 25 - 19_9_14 = 80_5_14 км

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ошибки в условии нет. "Поравнялись" не означает, что в этот момент двигались в разные стороны.

      Удалить
  2. Ориентировочно 190 км. Если они встретились в первый раз на расстоянии 55 км от А, то грузовик проехал 55 км, а легковой Х-55, где Х - расстояние между А и Б.
    Второй раз встретились на расстоянии 85 км от Б. Грузовик прошел Х - 85 км, легковой 55 + Х -85. Тк скорости постоянны, составляем пропорцию 55/Х-55 =Х-85/55+Х-85. Получаем Х = 223,3 км. Посты Дпс прошли одновременно. У/25=55/Х-55. У=8,17 - расстояние от А до Дпс. Расстояние между Дпс 223,3-8,17-25.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. >Второй раз встретились на расстоянии 85 км от Б. >Грузовик прошел Х - 85 км, легковой 55 + Х -85.

      Здесь есть ошибка.

      Удалить
    2. Согласен, не вычел из пути грузовика ранее пройденные 55 км. И согласен, что есть 2 варианта второй встречи. Либо при движении в сторону Б обоих, либо легковой в сторону Б, грузовой после разворота в сторону А. Я во втором посте про это и спрашивал. Будет время, посчитаю))))

      Удалить
  3. Корректива. Поравнялись = встретились или обязательно двигались в одном направлении? Сути не меняет, но цифры будут другие

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ехали они навстречу друг другу или в одном направлении как раз и нужно определить.

      Удалить

  4. Такое расположение - пункт А, пост ДПС на расстоянии X, далее через расстояние Y следующий пост, который находится на расстоянии 25 км от Б. То есть

    АБ=X+Y+25

    составляем уравнения для одновременного доезда до ДПС, первой встречи и второй встречи (полагаем, легковушка развернулась и догнала грузовик), и решаем эту систему, получаем расстояние между постами 170 км
    (в принципе, Владимир М начинал правильно, только с расстоянием ошибся)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не сразу заметил комментарий. Всё верно, между постами 170 км.

      Удалить