среда, 20 января 2010 г.

Какая площадь больше?

Дана четверть круга. На ее радиусах как на диаметрах построены полукруги. Какая площадь больше: оранжевая или черная?
Четверть круга
Ответ
Пусть Sч - площадь черной части, 2S - площадь оранжевой. На рисунке видно, что 2S + Sч образуют сегмент большого круга. Радиусы маленьких полукругов в два раза меньше, чем радиус большого. Поэтому площадь большого круга будет в 4 раза больше, чем площадь каждого из маленьких кругов. То же соотношение справедливо и для подобных сегментов этих кругов. Большой сегмент 2S + Sч в 4 раза больше, чем любой из маленьких сегментов S, то есть 2S + Sч = 4S. Соответственно, Sч = 4S - 2S = 2S. То есть оранжевая и черная площади равны.
Четверть круга - ответ
Похожая задача про звезду.

4 комментария:

  1. Интересно, а есть красивый способ решения, или задача решается в лоб - считаются площади сегментов и сравниваются?

    ОтветитьУдалить
  2. Добавил решение. Насколько оно красиво - судите сами.

    ОтветитьУдалить