среда, 27 августа 2014 г.

42 литра

Общее количество воды в семи бочках равно 42 литрам. Далее из первой бочки воду выливают в шесть остальных разделив её поровну. Затем аналогичную операцию проделывают со второй бочкой, с третьей и т.д. После того, как процесс переливания завершается, количество воды в каждой бочке оказывается равным первоначальному. Сколько воды в каждой бочке было до начала переливания?
Бочки
update
Первым правильно ответил Медалист.
Ответ
12, 10, 8, 6, 4, 2 и 0. Подробности в комментариях.

5 комментариев:

  1. Такое переливание можно продолжать бесконечно по кругу.
    Представляется - после переливания картина распределения воды остаётся токая же, только сдвинута на одну бочку. Полагаем, в первой бочке X. Значит разливает по Х*1/7. Чтобы картина повторилась, во второй бочке - Х*6/7, в третьей - Х*5/7 и т.д., в седьмой Х*1/7. Получаем 42=X*(1+6/7+...+1/7)
    X=10,5

    10,5
    9
    7,5
    6
    4,5
    3
    1,5

    Нужно ещё доказать, что невозможен другой вариант (когда картина не повторяется каждый раз) (если действительно невозможен).

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мы же переливаем воду из бочки в остальные 6 бочек, а не во все семь.

      Когда из одной бочки вода переливается в другие, эта бочка остается пустой. Значит, изначально (как и после седьмого переливания) пустой должна быть бочка номер 7.

      Дальше надо думать :)

      Удалить
  2. Если, как подсказали выше, разливается вся вода, значит действительно 7 бочка пустая. Действуем по той же схеме.
    В первой бочке Х литров. Разливает по Х/6. Значит во второй бочке Х*5/6, в третьей, Х*4/6, и т.д.
    42=Х*(1+5/6+...+1/6+0)
    Х=12

    12
    10
    8
    6
    4
    2
    0

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Единственность можно доказать из следующих соображений:
      1) после каждого переливания в каждой бочке будет количество жидкости, равное линейной комбинации содержимого всех бочек до начала переливания, следовательно, конечное распределение - суть линейная комбинация начального распределения, коэффициенты постоянные (зависят от числа бочек и числа переливаний) и действительные. В результате будет, например, V1=f1(V01, V02, ...V07), где V01 - начальный объем воды в первой бочке, V02 - во второй и т.д., V1 - конечный объем в первой, f1-некая линейная функция, которую можно определить точно (достаточно честно расписать все переливания - это муторно, но осуществимо). Всего будет 7 уравнений для 7 неизвестных.
      При этом, если записать их в ряд и сложить построчно, в левой и правой части получится очевидное равенство V1+V2+...+V7=V01+V02+...+V07, то есть ранг системы равен 6, одно уравнение можно исключить.
      Итого - есть система из 6 линейно независимых уравнений для 7 переменных.
      Такую систему уже можно решить, приняв V01 за параметр, тогда все остальные объемы выразятся через него.

      2) Заметьте, что до сих пор нигде не учтено, что в данной постановке условия V07=V7=0. То есть алгоритм разливания может быть и другим, но задача все еще решается (например, действительно разливать во все бочки, включая ту, из которой разливают). Если принять условие, которое поставлено, система упростится: будет 5 уравнений для 6 переменных, и опять же, остальные 5 выражаются через одну. Мало того, если не класть V07=0 сразу, это должно (sic!) получиться автоматически.

      3) Получив объемы, сложим их - получится величина, зависящая от V01, как от параметра, при этом зависимость тоже линейная. Но эта сумма тоже задана, откуда находим единственным образом V01. И это уже ответ.

      Таким образом, задача имеет решение, причем единственное. Либо не имеет вовсе (если дискриминант нулевой).
      Иными словами: если мы каким-либо образом найдем решение, то оно обязательно будет искомым, и других у задачи нет.

      Удалить
    2. И это правильный ответ!

      Удалить