понедельник, 10 ноября 2014 г.

Стрелки

Предположим, что у нас есть часы, минутная и часовая стрелки которых имеют одинаковую длину. Сколько раз в течение суток мы не сможем определить время, при условии, что всегда знаем когда возникла ситуация - до или после полудня?
Циферблат
update
Ответ
264.
Представим себе два циферблата, у которых все стрелки одинаковые. Пусть первые часы работают нормально, а вторые часы идут со скоростью в 12 раз превышающей обычную. В этом случае часовая стрелка быстрых часов всегда будет совпадать с минутной стрелкой нормальных. Так как все стрелки одинаковые, то неоднозначность будет возникать каждый раз, когда на обоих часах будет одинаковая картинка. При этом нужно исключить случаи, когда стрелки совпадают. В период от полуночи и до полудня минутная стрелка быстрых часов сделает 144 оборота, за это же время часовая стрелка обычных часов сделает один оборот. Таким образом, двое воображаемых часов покажут одинаковую картинку 143 раза. В течение этого времени стрелки нормальных часов совпадут 11 раз, поэтому общее число неоднозначных показаний будет равно 143-11=132. За сутки же это число увеличится в два раза, и будет равно 264.

13 комментариев:

  1. Подозреваю, что правильный ответ - 22. :)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хотя скорее нет... :) У меня новое подозрение.

      В течении каждого часа таких моментов наступает 12 штук.
      При этом в 12:00 стрелки совпадают, так что тут время не перепутаешь, значит один раз нужно отнять. Итого, за полусутки 143 таких момента, а за сутки соответственно 286.

      Удалить
    2. а откуда у вас в час 12-ть таких моментов???
      смотрите на пример на той картинке, что есть в задаче:
      это никак не может быть 17:43, т.к. стрелка, которая для нас справа стоит вовсе рядом с пятеркой, и если б это было б 17:43, то стрелка была б ближе к шестерке.
      по тому на этих часах 20:25

      по-моему, таких моментов ноль!

      Удалить
    3. Ну строгого доказательства пока нет, но идея такая.
      Вот смотрим по картинке. Предположим, что минутная стрелка - на самом деле часовая, и находится между 5 и 6. А часовая в это время находится между 8 и 9.
      Между 5ю и 6ю часами найдется такой момент времени, что минутная стрелка должна быть между 8 и 9 (таких много, в общем-то). И минутная стрелка покажет в соответствующую позицию между 5 и 6.
      Вот еще раз смотрим на картинку и пускаем время вперед. Минутная стрелка движется быстро, часовая - медленно. Значит, минутная стрелка в какой-то момент окажется в той позиции, в которой была бы часовая, если бы часовая была минутной :)
      Понимаю, звучит запутано, но это все на уровне идеи пока. :)

      Удалить
    4. Так 22 или 286? И ведь стрелки совпадают не только в 12:00.

      Удалить
    5. Действительно, чего это я :)

      Значит, 132х2=264. :)

      Удалить
  2. когда "пускаем время вперед" и "минутная стрелка в какой-то момент окажется в той позиции, в которой была бы часовая, если бы часовая была минутной :)" тогда часовая должна оказаться в прошлом положении минутной стрелки ... - это что б мы не могли различать время

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ну мне сейчас лень считать с большей точностью, но представь, что время на часах - 8 часов 27 минут и еще сколько-то там секунд.

      Если стрелки одинаковой длины, то его запросто можно перепутать с 5 часов 43 (или около того ) минуты.

      Удалить
  3. На самом деле можно решить задачу строго и точно, чтобы не появлялись ошибки, неизбежные при попытке разобраться чисто логически.

    Пусть стрелки показывают на какую-то точку на циферблате.
    Большими буквами я буду обозначать пройденные часовые деления, малыми - расстояние в "минутах" от последнего деления. Допустим, если стрелка на 17 минутах, X=3, x=2. И дальше буду оперировать этими парами.
    При этом X={0, 1, ..., 11}, 0<=x<5. Последнее может быть и дробным.

    Пусть первая стрелка показывает на (X, x), вторая - на (Y, y). Пусть первая - минутная. Значит, сейчас Y часов и (5X+x) минут. Но тогда вторая стрелка должна продвинуться от часового деления на (5X+x)/12 минутных делений. Поскольку часы показывают реальное время, то часовая стрелка должна была сдвинуться на определенное количество делений - в 12 раз меньшее, чем количество минут, пройденных с начала часа. Следовательно 12y=5X+x.

    Аналогично, 12x=5Y+y. Избавимся от y:
    144x=60Y+12y=60Y+5X+x, или 143x=60Y+5X.
    Таким образом, при выбранных X и Y мы единственным образом узнаем x, а следовательно, и y (143y=60X+5Y).
    Видно, что x>0 всегда, кроме случая X=Y=0, то есть в полдень. Далее, видно, что при любом X=Y также x=y, то есть стрелки совпадут, и мы не можем ошибиться в определении времени. (условие x<5 рассмотрим позже)

    Таким образом, можно заключить, что интересующие нас моменты случаются, когда стрелки находятся в РАЗНЫХ "почасовых" секторах циферблата и НЕ указывают на часовые деления.
    Без ограничения общности можно считать, что X<Y, или, более подробно, 0<=X<Y<=11.
    При этом 5<=60X+5Y<=655, то есть 0<x<5, и 60<=60Y+5X<=710, то есть 0<y<5. Эти условия удовлетворились автоматически!

    Тогда при X=0 есть 11 допустимых значений Y (1-11), и т.д., при X=10 - только Y=11. То есть число решений 11+10+...+1=66.

    Другими словами, есть 66 положений стрелок часов с двояким чтением, что дает 132 собственно показания часов, или 264 момента за сутки.

    К примеру, X=5, Y=7 дают x=2.234 и y=3.112
    То есть, моменты 17:37:20.56 и 19:28:06.71 будут неразличимы.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Тут надо заметить вот что: фраза "66 положений" имеет смысл, если у нас часы с "плавающей" стрелкой и мы читаем их с точностью до долей секунды. В реальности же мы округляем, да и часы показывают часто на минутные деления, и стрелки двигаются рывками.
      Но можно оговориться, что под "моментом" мы понимаем промежуток времени порядка минуты. Тогда логика, особенно под впечатлением точного решения, будет такой:

      Пусть хотя бы одна из стрелок показывает на часовое деление. Мы предполагаем, что часы идут правильно. Поэтому, при допущении, что эта стрелка часовая, вторая должна быть около 12 часов. Если она не там, то мы пришли к противоречию, значит первая - минутная, и мы знаем время (например, 20 минут пятого).
      Если же вторая все же указывает на место около 12, то для нее верны те же рассуждения. И если первая указывает НЕ на 12, то значит при этом она часовая, и мы знаем время (например, 9 часов). Но если при этом и первая тоже указывает на 12, то мы уже не можем ошибиться в определении времени: полдень или полночь.

      Пусть теперь ни одна из стрелок не указывает на часовое деление. Если они в одном секторе то мы вряд ли сильно ошибемся в определении времени (например, в 14:12). Ну а если в разных, то перестановка изменит мало что. То есть, чтобы подсчитать количество нужных моментов, ставим часовую стрелку в один из 12 секторов, а минутную - в один из 11 свободных. Итого - 12*11=132 показаний, или 264 за полные сутки.

      Сконструируем теперь показание. Пусть одна из стрелок "после 5", вторая - "после 7". То есть искомые моменты "чуть позже 17:35" и "чуть позже 19:25" Берем двое часов и выставляем на них эти показания. Стрелки все еще расположены по разному: ведь часовая сдвинулась на полсектора в каждом случае. Запоминаем эти положения и сдвигаем в них минутные стрелки на противоположных часах.
      Минутные подвинулись менее, чем на 5 минутных делений, значит, часовые и того меньше. Повторяем процедуру до тех пор, пока сдвиг часовой стрелки не станет ничтожным.
      В ответе выше это как раз те самые моменты.

      И к чему мы пришли? Минутная стрелка на одних часах расположена также, как и на других - часовая. И наоборот. Поэтому, если стрелки все абсолютно одинаковые, в какой-то момент мы не можем различить одни часы от других. А поскольку время мы определяем на глаз, то этот "момент" растягивается на минуту до и после.

      Но ответ останется прежним: 264.

      Удалить
    2. 264 - правильный ответ. Есть способ решения попроще.

      Удалить
  4. надо крутить стрелки назад аж до пятница, 10 июля 2009 г. и там наидется искомое

    ОтветитьУдалить
  5. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить