вторник, 11 ноября 2014 г.

3 из 9 из 20

Попробуйте доказать, что из девяти произвольно выбранных вершин правильного 20-угольника по крайней мере три обязательно будут являться вершинами равнобедренного треугольника.
Многоугольник
update
Первый - Илья.
Ответ
Обозначим вершины A, B, C, D, A, B, C, D и так далее. В этом случае каждая метка будет определять правильный пятиугольник. Из девяти выбранных нами вершин, по крайней мере, три будут иметь одинаковую метку. Теперь рассмотрим три любых вершины правильного пятиугольника. Отметим, что расстояние между вершинами правильного пятиугольника может иметь только два разных значения. Таким образом, между тремя вершинами такого пятиугольника два расстояния обязательно будут равны. Что и требовалось доказать.

Игра в 2000-угольник.

2 комментария:

  1. Занумеруем вершины 20угольника от 0 до 19. Рассмотрим четыре правильных пятиугольника, каждый из которых образован пятью вершинами 20угольника, номер которых имеет определенный остаток при делении на 4: 0-4-8-12-16, 1-5-9-13-17 и так далее.

    По принципу Дирихле по крайней мере 3 из 9 вершин попадут в один из этих пятиугольников. Несложно проверить, что любые три вершины правильного пятиугольника образуют равнобедренный треугольник. QED

    ОтветитьУдалить