четверг, 22 апреля 2010 г.

Оранжево-черный треугольник

Традиционный вопрос: какая площадь больше - черная или оранжевая? Ответ нужно обосновать.
Оранжево-черный треугольник
Похожие задачи: прямоугольник, звезда, четверть окружности, квадрат.
Подсказка

Треугольник
Автор: possward на 15:25
Ярлыки:

8 комментариев:

  1. ERUDIT22 апреля 2010 г. в 19:38

    Эх, жаль, что клеточки закрашены...
    Можно было бы с легкость по формуле Пика площади посчитать! :)

    ОтветитьУдалить
  2. possward22 апреля 2010 г. в 20:00

    ERUDIT, клеточки в таком виде тоже пригодятся. Главное - найти ключ к задачке, а считать совсем немного придется.

    ОтветитьУдалить
  3. Eugene23 апреля 2010 г. в 01:22

    Дурацкий способ - просто посчитать площади:
    площадь большого треугольника равна 35*12/2=210 клеточек, а площадь оранжевой части равна (16*3.75+8*7.5+10*6)/2=90 клеточек. Выходит, что оранжевая часть меньше черной.
    Но наверняка есть решение посимпатичнее...

    ОтветитьУдалить
  4. possward23 апреля 2010 г. в 10:00

    Eugene, есть другое решение, но догадаться до него не очень просто. Добавил подсказку. Может быть поможет.

    ОтветитьУдалить
  5. birkin21 сентября 2010 г. в 18:24

    Я бы сделал так.
    Посчитаем площади треугольников, как полупроизведение высоты на основание.

    S(AHF)=7,5*16/2=60 (кв.ед)

    Т.к. AK=KH, площади левых маленьких треугольников равны по 30.

    S(FHE) = S(AHE)-60 = 90-60 = 30, аналогично
    S(HGE) = S(AGE)-90 = 120-90 = 30,
    S(EGD) = S(AGD)-120 = 150-120 = 30, ну и
    S(GBD) = S(ABD)-150 = 180-150 = 30.

    Т.е площади всех шести маленьких треугольников внутри ABD по 30 (кв.ед), т.е равны.
    Но ещё есть чёрный треугольник DBC.
    Получается, черная площадь больше.

    ОтветитьУдалить
  6. birkin21 сентября 2010 г. в 18:26

    Обозначения вершин взяты из подсказки.

    ОтветитьУдалить
  7. birkin21 сентября 2010 г. в 18:30

    Но похоже, это ничем не лучше способа Eugene...

    ОтветитьУдалить
  8. possward22 сентября 2010 г. в 00:11

    Здесь использован следующий приём. Для того, чтобы разделить треугольник на N частей одинаковой площади нужно разделить на N одинаковых отрезков одну из его сторон и соединить концы этих отрезков с противоположной вершиной. Отрезок DC равен 1/7 стороны AC, поэтому площадь треугольника BDC равна 1/7 площади ABC. Отрезок BG равен 1/6 стороны AB, поэтому площадь треугольника DBG равна 1/6 площади ABD. И так далее. То есть треугольник ABC разделен на 7 одинаковых частей: 3 оранжевых и 4 черных. Черная площадь больше. В общем-то тоже без подсчетов не обойтись.

    ОтветитьУдалить

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)