четверг, 22 апреля 2010 г.

Оранжево-черный треугольник

Традиционный вопрос: какая площадь больше - черная или оранжевая? Ответ нужно обосновать.
Оранжево-черный треугольник
Похожие задачи: прямоугольник, звезда, четверть окружности, квадрат.
Подсказка

Треугольник

8 комментариев:

  1. Эх, жаль, что клеточки закрашены...
    Можно было бы с легкость по формуле Пика площади посчитать! :)

    ОтветитьУдалить
  2. ERUDIT, клеточки в таком виде тоже пригодятся. Главное - найти ключ к задачке, а считать совсем немного придется.

    ОтветитьУдалить
  3. Дурацкий способ - просто посчитать площади:
    площадь большого треугольника равна 35*12/2=210 клеточек, а площадь оранжевой части равна (16*3.75+8*7.5+10*6)/2=90 клеточек. Выходит, что оранжевая часть меньше черной.
    Но наверняка есть решение посимпатичнее...

    ОтветитьУдалить
  4. Eugene, есть другое решение, но догадаться до него не очень просто. Добавил подсказку. Может быть поможет.

    ОтветитьУдалить
  5. Я бы сделал так.
    Посчитаем площади треугольников, как полупроизведение высоты на основание.

    S(AHF)=7,5*16/2=60 (кв.ед)

    Т.к. AK=KH, площади левых маленьких треугольников равны по 30.

    S(FHE) = S(AHE)-60 = 90-60 = 30, аналогично
    S(HGE) = S(AGE)-90 = 120-90 = 30,
    S(EGD) = S(AGD)-120 = 150-120 = 30, ну и
    S(GBD) = S(ABD)-150 = 180-150 = 30.

    Т.е площади всех шести маленьких треугольников внутри ABD по 30 (кв.ед), т.е равны.
    Но ещё есть чёрный треугольник DBC.
    Получается, черная площадь больше.

    ОтветитьУдалить
  6. Обозначения вершин взяты из подсказки.

    ОтветитьУдалить
  7. Но похоже, это ничем не лучше способа Eugene...

    ОтветитьУдалить
  8. Здесь использован следующий приём. Для того, чтобы разделить треугольник на N частей одинаковой площади нужно разделить на N одинаковых отрезков одну из его сторон и соединить концы этих отрезков с противоположной вершиной. Отрезок DC равен 1/7 стороны AC, поэтому площадь треугольника BDC равна 1/7 площади ABC. Отрезок BG равен 1/6 стороны AB, поэтому площадь треугольника DBG равна 1/6 площади ABD. И так далее. То есть треугольник ABC разделен на 7 одинаковых частей: 3 оранжевых и 4 черных. Черная площадь больше. В общем-то тоже без подсчетов не обойтись.

    ОтветитьУдалить