вторник, 24 августа 2010 г.

Про землекопов

Полтора землекопа
Четыре землекопа выкопали яму за 3 часа. Если бы первый землекоп копал вдвое быстрее, а второй - вдвое медленнее, то общее время работы не изменилось бы. А если бы первый копал вдвое медленнее, а второй - вдвое быстрее, то общее время работы сократилось бы на 1 час. За какое время выкопали бы яму первые три землекопа без помощи четвертого?

update
Первым землекопов вывел на чистую воду Эйч.
Ответ
3 часа.
Если обозначить через x1 ту часть всей работы, которую выполняет в час первый землекоп, а через x2, x3 и x4 - соответствующие доли остальных землекопов, то можно составить систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 1/3
2*x1 + x2/2 + x3 + x4 = 1/3
x1/2 + 2*x2 + x3 + x4 = 1/2
Неизвестных больше, чем уравнений. Казалось бы, решить систему невозможно. Но если проделать некоторые манипуляции, например, вычесть из второго и третьего уравнений первое, то получим
x1 - x2/2 = 0
-x1/2 + x2 = 1/6
Отсюда x1 = 1/9, x2 = 2/9. Если подставить эти значения в любое из первоначальных уравнений, то получим, что x3 + x4 = 0. То есть третий и четвертый вообще не работали. Соответственно, общее время работы без четвертого землекопа не изменится.

Еще две задачи:
Про напор воды.
Про зоопарк.

3 комментария: