среда, 18 апреля 2012 г.

Два ящика с шарами

Коробка с шарами
Имеются два одинаковых ящика кубической формы, наполненные шарами из одного и того же материала. В первом ящике находится 27 одинаковых крупных шаров, а во втором - 64 одинаковых мелких шаров. В обоих ящиках шары уложены вплотную доверху так, что в каждом слое находится по одинаковому их числу и крайние шары каждого слоя касаются стенок ящика. Если ящик закрыть, то крышка также будет касаться шаров верхнего слоя. Какой ящик тяжелее и почему?

update
Быстрее всех был mr-ridgeway.
Ответ
Ящики весят одинаково.
Так как оба ящика имеют форму куба, то в одном ящике будут укладываться три шара в ряд, а в другом - четыре. Одинаковые ящики имеют равные ребра, следовательно, диаметр большего шара больше диаметра меньшего шара в 4/3 раза, а объем и вес больше в 64/27 раза (так как объем и вес шара пропорциональны кубу его диаметра). Итак, каждый большой шар должен быть тяжелее меньшего шара в 64/27 раза, но зато больших шаров в 64/27 раза меньше, чем меньших шаров в таком же ящике. Отсюда и получается, что оба ящика весят одинаково.

5 комментариев:

  1. Думаю, одинаково. Если рассмотреть 27 и 64 соответственно кубика, на которые делится большой куб, то в каждом шар, касающийся всех его стенок. Он занимает n% объёма кубика. Значит, и все шарики занимают n% большого куба.

    ОтветитьУдалить
  2. Одинаково.
    Если прянять сторону ящика за 2*a, то радиус крупных шаров будет равен a/3, а мелких a/4. Соотвественно суммарный объем крупных шаров равен 27 * (4/3) * pi * (a/3)^3 = (4/3) * pi * a^3, а мелких 64 * (4/3) * pi * (a/4)^3 = (4/3) * pi * a^3. Это тот же объем, который занял бы один шар диаметром равный стороне куба

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Если прянять сторону ящика за 2*a, то радиус крупных шаров будет равен a/3, а мелких a/4.
      -------------------------

      Это откуда следует ?

      Удалить
  3. Даже в общем случае объем, следовательно вес шариков будет одинаков - для количества шаров n^3

    ОтветитьУдалить