воскресенье, 2 августа 2009 г.

Головоломный марафон. Задание 4

взвешивание шаровЧетвертое задание связано со взвешиванием. Имеется 6 шаров. Одна пара красная, другая - зеленая, третья пара - синяя. В каждой паре один из шаров немного легче другого, но выглядят они одинаково. Три более тяжелых шара весят одинаково. Это же условие и для более легких шаров. Как определить с помощью двух взвешиваний на чашечных весах какой из шаров в каждой паре легче?

19 комментариев:

  1. Обозначим шары как К1, К2, З1, З2, С1, С2.
    Пусть (a) > (b) значит, что масса (a) больше (b).
    1. (К1, З1, С1) > (К2, З2, С2) (1 взв.)
    1.1. (К2, С1) > (К1, З2): (2 взв.)
    Лёгкие: К1, З2, С2
    Тяжёлые: К2, З1, С1
    1.2. (К2, С1) = (К1, З2): (2 взв.)
    Пусть К2 - тяжёлый, тогда К1 и С1 - лёгкие, что противоречит 1.
    Лёгкие: К2, З2, С2
    Тяжёлые: К1, З1, С1
    1.3. (К2, С1) < (К1, З2):
    З1 и С1 лёгкие, что противоречит 1. Поэтому варианта 1.3 нет.
    2. (К1, З1, С1) < (К2, З2, С2)
    Аналогично пункту 1 (везде 1 заменить на 2, а 2 - на 1)

    ОтветитьУдалить
  2. Как раз для варианта 1.3 возникает два случая:
    тяжелыми могут К1,З1,С2 или К1,З2,С1. Оба случая будут удовлетворять условию (К2,С1) < (К1,З2).
    Поэтому ответ неверный.

    ОтветитьУдалить
  3. Схематично так:
    1 взвешивание (К1,З1) и (З2,С1)
    1.1. Если (К1,З1) = (З2,С1), то второе взвешивание (К1)и (С1).
    Если (К1)> (С1), то (З1) < (З2), следовательно, (К1)> (К2), (З1) < (З2),(С1)<(C2).
    Если (К1)< (С1), то (З1) > (З2), следовательно, (К1)< (К2), (З1) > (З2),(С1)>(C2).
    1.2 Если (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда, (З1) >(З2).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
    Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З1) >(З2).
    Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
    Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
    Пусть С1-большой, К1-маленький, тогда (учитывая (З1) >(З2)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда (К1)>(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).

    ОтветитьУдалить
  4. White, а где же вариант 1.3 (К1,З1)<(З2,С1)?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
  5. "White, а где же вариант 1.3 (К1,З1)<(З2,С1)"
    Этот вариант аналогичен 1.2
    (К1,З1) >(З2,С1) тоже самое, что и
    (З2,С1) <(К1,З1).Те же рассуждения, что и для 1.2, только цвета отличаются(синий-красный)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
  6. White, засчитано. У меня другой вариант решения есть, позже опубликую.

    ОтветитьУдалить
  7. Вот простой пример решения форумчанина zavvala:
    Для первого взвешивания кладем на чаши 2 шара, пусть красных, как на рисунке. Определяем визуально какой шар тяжелее пусть справа, как на рисунке. Теперь положим по чашам еще по одному шару разных цветов ( синий и зеленый). Тут два варианта: 1. если весы неуравновешены, значит, на опустившейся чаше оба шара - тяжелые. Т. е. красный и синий например. Тогда в другой чаше остались легкие зеленый и красный. А на столе лежат легкий синий и тяжелый зеленый. Теперь вариант 2. если на весах равновесие, а мы уже знаем с какой стороны тяжелый и легкий красные шары, то рядом с тяжелым будет легкий ( синий или зеленый), а рядом с тяжелым будет тяжелый ( синий или зеленый). Соответственно, мы будем знать, какие шары остались лежать на столе.

    ОтветитьУдалить
  8. Илья, когда всзвешиваем по два шара вариантов возникает больше. Если весы не уравновешены, на опустившейся чаше оба шара тяжелые, но на другой чаше может быть два варианта: 1) легкий красный + легкий зеленый; 2) легкий красный + тяжелый зеленый. То есть мы не сможем определить какой из зеленых тяжелый, а какой легкий.

    ОтветитьУдалить
  9. да, согласен, этот вариант я не учел
    будем думать дальше

    ОтветитьУдалить
  10. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  11. звешивание (К1,З1) и (З2,С1)
    1.1. Если (К1,З1) = (З2,С1), то второе взвешивание (К1)и (С1).
    Если (К1)> (С1), то (З1) < (З2), следовательно, (К1)> (К2), (З1) < (З2),(С1)<(C2).
    Если (К1)< (С1), то (З1) > (З2), следовательно, (К1)< (К2), (З1) > (З2),(С1)>(C2).
    1.2 Если (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда, (З1) >(З2).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
    Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З1) >(З2).
    Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
    Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
    Пусть С1-большой, К1-маленький, тогда (учитывая (З1) >(З2)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда (К1)>(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).

    1.3 Если (К1,З1) <(З2,С1).Отсюда, (З2) >(З1).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
    Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З2) >(З1).
    Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З2) >(З1).
    Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
    Пусть K1-большой, C1-маленький, тогда (учитывая (З2) >(З1)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) <(З2,С1).Отсюда (К1)<(К2),(С1)>(C2), (З1) <(З2).

    ОтветитьУдалить
  12. На одну чашу кладем (Красный-Синий-Зеленый) и на вторую соответственно (Красный - Синий - Зеленый). между чашами равенства быть не может. Потому что есть всего 4 варианта как их можно положить:
    1) легкий - легкий - тяжелый
    2) тяжелый - тяжелый - легкий
    3) легкий - тяжелый - легкий
    4) тяжелый - легкий - тяжелый
    Следовательно, одна из чаш в любом случае будет перевешивать. Берем ту, которая перевесила и взвешиваем любые два шара из нее. В случае, если они одинаково весят, выясняем, что 3й шар самый легкий, если какой-то из двух перевешивает, то, соответственно один из низ самый легкий, ну, а дальше элементарные сопоставления и все =)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вообще вариантов получается 8:
      000
      001
      010
      011
      100
      101
      110
      111
      (0 - легкий, 1 - тяжелый)

      Удалить
    2. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    3. 1) Я написал в первом сообщении действительно не очень корректно (опустил возможность размещения на одной чаше 3х легких или 3х тяжелых. На самом деле вариантов всего 6, потому что 3!=6 (то есть возможно сделать всего 6 перестановок из 3х элементов). НО тем не менее, это ни чуть не влияет на алгоритм решения.

      2) Вот все возможные варианты:

      1чаша | 2 чаша
      л-т-т | т-л-л
      л-л-т | л-т-т
      л-л-л | т-т-т

      3) Теперь рассмотрим каждый из возможных случаев:
      -------------------------------------------------------
      1й случай
      з1 к1 с1 | з2 к2 с2
      л - т - т | т - л - л

      Сначала взвешиваем эти две чаши и определяем какая из них тяжелее (тяжелее может быть только та, на которой либо 2 тяжелых, либо 3 тяжелых шара). После этого мы рассматриваем шары из этой чаши, которая перевесила, и тут 2 варианта развития событий:

      I
      1е взвешивание: к1 = с1 => это 2 тяжелых шара => к2 и с2 легкие
      2е вщвешивание: з1 < к1 => з1 легкий => з2 тяжелый

      II
      з1 < к1 (при таком варианте обойдемся вообще одним взвешиванием) => к1 и с1 тяжелые => к2 и с2 легкие => з2 тяжелый
      -------------------------------------------------------
      2й случай:
      з1 к1 с1 | з2 к2 с2
      л - л - т | л - т - т

      Опять-таки взвешиваем две чаши, определяем какая из них тяжелее и далее действуем по алгоритму 1го случая
      -------------------------------------------------------
      3й случай:
      з1 к1 с1 | з2 к2 с2
      л - л - л | т - т - т

      Опять взвешиваем две чаши, определяем какая тяжелее и рассматриваем шары этой чаши

      1е взвешивание: з2 = к2 => з2 и к2 тяжелые => 31 и к1 легкие
      2е взвешивание: с2 = к2 => з2, к2 и с2 тяжелые => з1, к1 и с1 легкие
      -------------------------------------------------------
      Вот, собственно, и все ...

      Удалить
    4. В первом случае:
      1-ое взвешивание: з1 к1 с1 и з2 к2 с2
      2-ое взвешивание: к1 и с1
      3-е взвешивание: з1 и к1
      То есть получаем 3 взвешивания?

      Удалить
  13. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить