Четвертое задание связано со взвешиванием. Имеется 6 шаров. Одна пара красная, другая - зеленая, третья пара - синяя. В каждой паре один из шаров немного легче другого, но выглядят они одинаково. Три более тяжелых шара весят одинаково. Это же условие и для более легких шаров. Как определить с помощью двух взвешиваний на чашечных весах какой из шаров в каждой паре легче?
Как раз для варианта 1.3 возникает два случая: тяжелыми могут К1,З1,С2 или К1,З2,С1. Оба случая будут удовлетворять условию (К2,С1) < (К1,З2). Поэтому ответ неверный.
"White, а где же вариант 1.3 (К1,З1)<(З2,С1)" Этот вариант аналогичен 1.2 (К1,З1) >(З2,С1) тоже самое, что и (З2,С1) <(К1,З1).Те же рассуждения, что и для 1.2, только цвета отличаются(синий-красный)
Вот простой пример решения форумчанина zavvala: Для первого взвешивания кладем на чаши 2 шара, пусть красных, как на рисунке. Определяем визуально какой шар тяжелее пусть справа, как на рисунке. Теперь положим по чашам еще по одному шару разных цветов ( синий и зеленый). Тут два варианта: 1. если весы неуравновешены, значит, на опустившейся чаше оба шара - тяжелые. Т. е. красный и синий например. Тогда в другой чаше остались легкие зеленый и красный. А на столе лежат легкий синий и тяжелый зеленый. Теперь вариант 2. если на весах равновесие, а мы уже знаем с какой стороны тяжелый и легкий красные шары, то рядом с тяжелым будет легкий ( синий или зеленый), а рядом с тяжелым будет тяжелый ( синий или зеленый). Соответственно, мы будем знать, какие шары остались лежать на столе.
Илья, когда всзвешиваем по два шара вариантов возникает больше. Если весы не уравновешены, на опустившейся чаше оба шара тяжелые, но на другой чаше может быть два варианта: 1) легкий красный + легкий зеленый; 2) легкий красный + тяжелый зеленый. То есть мы не сможем определить какой из зеленых тяжелый, а какой легкий.
На одну чашу кладем (Красный-Синий-Зеленый) и на вторую соответственно (Красный - Синий - Зеленый). между чашами равенства быть не может. Потому что есть всего 4 варианта как их можно положить: 1) легкий - легкий - тяжелый 2) тяжелый - тяжелый - легкий 3) легкий - тяжелый - легкий 4) тяжелый - легкий - тяжелый Следовательно, одна из чаш в любом случае будет перевешивать. Берем ту, которая перевесила и взвешиваем любые два шара из нее. В случае, если они одинаково весят, выясняем, что 3й шар самый легкий, если какой-то из двух перевешивает, то, соответственно один из низ самый легкий, ну, а дальше элементарные сопоставления и все =)
1) Я написал в первом сообщении действительно не очень корректно (опустил возможность размещения на одной чаше 3х легких или 3х тяжелых. На самом деле вариантов всего 6, потому что 3!=6 (то есть возможно сделать всего 6 перестановок из 3х элементов). НО тем не менее, это ни чуть не влияет на алгоритм решения.
3) Теперь рассмотрим каждый из возможных случаев: ------------------------------------------------------- 1й случай з1 к1 с1 | з2 к2 с2 л - т - т | т - л - л
Сначала взвешиваем эти две чаши и определяем какая из них тяжелее (тяжелее может быть только та, на которой либо 2 тяжелых, либо 3 тяжелых шара). После этого мы рассматриваем шары из этой чаши, которая перевесила, и тут 2 варианта развития событий:
I 1е взвешивание: к1 = с1 => это 2 тяжелых шара => к2 и с2 легкие 2е вщвешивание: з1 < к1 => з1 легкий => з2 тяжелый
II з1 < к1 (при таком варианте обойдемся вообще одним взвешиванием) => к1 и с1 тяжелые => к2 и с2 легкие => з2 тяжелый ------------------------------------------------------- 2й случай: з1 к1 с1 | з2 к2 с2 л - л - т | л - т - т
Опять-таки взвешиваем две чаши, определяем какая из них тяжелее и далее действуем по алгоритму 1го случая ------------------------------------------------------- 3й случай: з1 к1 с1 | з2 к2 с2 л - л - л | т - т - т
Опять взвешиваем две чаши, определяем какая тяжелее и рассматриваем шары этой чаши
1е взвешивание: з2 = к2 => з2 и к2 тяжелые => 31 и к1 легкие 2е взвешивание: с2 = к2 => з2, к2 и с2 тяжелые => з1, к1 и с1 легкие ------------------------------------------------------- Вот, собственно, и все ...
Обозначим шары как К1, К2, З1, З2, С1, С2.
ОтветитьУдалитьПусть (a) > (b) значит, что масса (a) больше (b).
1. (К1, З1, С1) > (К2, З2, С2) (1 взв.)
1.1. (К2, С1) > (К1, З2): (2 взв.)
Лёгкие: К1, З2, С2
Тяжёлые: К2, З1, С1
1.2. (К2, С1) = (К1, З2): (2 взв.)
Пусть К2 - тяжёлый, тогда К1 и С1 - лёгкие, что противоречит 1.
Лёгкие: К2, З2, С2
Тяжёлые: К1, З1, С1
1.3. (К2, С1) < (К1, З2):
З1 и С1 лёгкие, что противоречит 1. Поэтому варианта 1.3 нет.
2. (К1, З1, С1) < (К2, З2, С2)
Аналогично пункту 1 (везде 1 заменить на 2, а 2 - на 1)
Как раз для варианта 1.3 возникает два случая:
ОтветитьУдалитьтяжелыми могут К1,З1,С2 или К1,З2,С1. Оба случая будут удовлетворять условию (К2,С1) < (К1,З2).
Поэтому ответ неверный.
Схематично так:
ОтветитьУдалить1 взвешивание (К1,З1) и (З2,С1)
1.1. Если (К1,З1) = (З2,С1), то второе взвешивание (К1)и (С1).
Если (К1)> (С1), то (З1) < (З2), следовательно, (К1)> (К2), (З1) < (З2),(С1)<(C2).
Если (К1)< (С1), то (З1) > (З2), следовательно, (К1)< (К2), (З1) > (З2),(С1)>(C2).
1.2 Если (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда, (З1) >(З2).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З1) >(З2).
Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
Пусть С1-большой, К1-маленький, тогда (учитывая (З1) >(З2)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда (К1)>(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
White, а где же вариант 1.3 (К1,З1)<(З2,С1)?
ОтветитьУдалитьЭтот комментарий был удален автором.
Удалить"White, а где же вариант 1.3 (К1,З1)<(З2,С1)"
ОтветитьУдалитьЭтот вариант аналогичен 1.2
(К1,З1) >(З2,С1) тоже самое, что и
(З2,С1) <(К1,З1).Те же рассуждения, что и для 1.2, только цвета отличаются(синий-красный)
Этот комментарий был удален автором.
УдалитьWhite, засчитано. У меня другой вариант решения есть, позже опубликую.
ОтветитьУдалитьВот простой пример решения форумчанина zavvala:
ОтветитьУдалитьДля первого взвешивания кладем на чаши 2 шара, пусть красных, как на рисунке. Определяем визуально какой шар тяжелее пусть справа, как на рисунке. Теперь положим по чашам еще по одному шару разных цветов ( синий и зеленый). Тут два варианта: 1. если весы неуравновешены, значит, на опустившейся чаше оба шара - тяжелые. Т. е. красный и синий например. Тогда в другой чаше остались легкие зеленый и красный. А на столе лежат легкий синий и тяжелый зеленый. Теперь вариант 2. если на весах равновесие, а мы уже знаем с какой стороны тяжелый и легкий красные шары, то рядом с тяжелым будет легкий ( синий или зеленый), а рядом с тяжелым будет тяжелый ( синий или зеленый). Соответственно, мы будем знать, какие шары остались лежать на столе.
Илья, когда всзвешиваем по два шара вариантов возникает больше. Если весы не уравновешены, на опустившейся чаше оба шара тяжелые, но на другой чаше может быть два варианта: 1) легкий красный + легкий зеленый; 2) легкий красный + тяжелый зеленый. То есть мы не сможем определить какой из зеленых тяжелый, а какой легкий.
ОтветитьУдалитьда, согласен, этот вариант я не учел
ОтветитьУдалитьбудем думать дальше
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалитьзвешивание (К1,З1) и (З2,С1)
ОтветитьУдалить1.1. Если (К1,З1) = (З2,С1), то второе взвешивание (К1)и (С1).
Если (К1)> (С1), то (З1) < (З2), следовательно, (К1)> (К2), (З1) < (З2),(С1)<(C2).
Если (К1)< (С1), то (З1) > (З2), следовательно, (К1)< (К2), (З1) > (З2),(С1)>(C2).
1.2 Если (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда, (З1) >(З2).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З1) >(З2).
Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
Пусть С1-большой, К1-маленький, тогда (учитывая (З1) >(З2)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) >(З2,С1).Отсюда (К1)>(К2),(С1)<(C2), (З1) >(З2).
1.3 Если (К1,З1) <(З2,С1).Отсюда, (З2) >(З1).Второе взвешивание (К1,С1) и (З1,З2).
Если (К1,С1) > (З1,З2), то К1,С1-большие, след., (К1)>(К2),(С1)>(C2), (З2) >(З1).
Если (К1,С1) < (З1,З2), то К1,С1-маленькие, след., (К1)<(К2),(С1)<(C2), (З2) >(З1).
Если (К1,С1) = (З1,З2), то К1-большой, С1-маленький или С1-большой, К1-маленький.
Пусть K1-большой, C1-маленький, тогда (учитывая (З2) >(З1)) получим (К1,З1) =(З2,С1), что противоречит первому взвешиванию : 1.2 (К1,З1) <(З2,С1).Отсюда (К1)<(К2),(С1)>(C2), (З1) <(З2).
На одну чашу кладем (Красный-Синий-Зеленый) и на вторую соответственно (Красный - Синий - Зеленый). между чашами равенства быть не может. Потому что есть всего 4 варианта как их можно положить:
ОтветитьУдалить1) легкий - легкий - тяжелый
2) тяжелый - тяжелый - легкий
3) легкий - тяжелый - легкий
4) тяжелый - легкий - тяжелый
Следовательно, одна из чаш в любом случае будет перевешивать. Берем ту, которая перевесила и взвешиваем любые два шара из нее. В случае, если они одинаково весят, выясняем, что 3й шар самый легкий, если какой-то из двух перевешивает, то, соответственно один из низ самый легкий, ну, а дальше элементарные сопоставления и все =)
Вообще вариантов получается 8:
Удалить000
001
010
011
100
101
110
111
(0 - легкий, 1 - тяжелый)
Этот комментарий был удален автором.
Удалить1) Я написал в первом сообщении действительно не очень корректно (опустил возможность размещения на одной чаше 3х легких или 3х тяжелых. На самом деле вариантов всего 6, потому что 3!=6 (то есть возможно сделать всего 6 перестановок из 3х элементов). НО тем не менее, это ни чуть не влияет на алгоритм решения.
Удалить2) Вот все возможные варианты:
1чаша | 2 чаша
л-т-т | т-л-л
л-л-т | л-т-т
л-л-л | т-т-т
3) Теперь рассмотрим каждый из возможных случаев:
-------------------------------------------------------
1й случай
з1 к1 с1 | з2 к2 с2
л - т - т | т - л - л
Сначала взвешиваем эти две чаши и определяем какая из них тяжелее (тяжелее может быть только та, на которой либо 2 тяжелых, либо 3 тяжелых шара). После этого мы рассматриваем шары из этой чаши, которая перевесила, и тут 2 варианта развития событий:
I
1е взвешивание: к1 = с1 => это 2 тяжелых шара => к2 и с2 легкие
2е вщвешивание: з1 < к1 => з1 легкий => з2 тяжелый
II
з1 < к1 (при таком варианте обойдемся вообще одним взвешиванием) => к1 и с1 тяжелые => к2 и с2 легкие => з2 тяжелый
-------------------------------------------------------
2й случай:
з1 к1 с1 | з2 к2 с2
л - л - т | л - т - т
Опять-таки взвешиваем две чаши, определяем какая из них тяжелее и далее действуем по алгоритму 1го случая
-------------------------------------------------------
3й случай:
з1 к1 с1 | з2 к2 с2
л - л - л | т - т - т
Опять взвешиваем две чаши, определяем какая тяжелее и рассматриваем шары этой чаши
1е взвешивание: з2 = к2 => з2 и к2 тяжелые => 31 и к1 легкие
2е взвешивание: с2 = к2 => з2, к2 и с2 тяжелые => з1, к1 и с1 легкие
-------------------------------------------------------
Вот, собственно, и все ...
В первом случае:
Удалить1-ое взвешивание: з1 к1 с1 и з2 к2 с2
2-ое взвешивание: к1 и с1
3-е взвешивание: з1 и к1
То есть получаем 3 взвешивания?
Этот комментарий был удален автором.
ОтветитьУдалить