понедельник, 13 декабря 2010 г.

21

Имеется 11 корзинок и достаточно большое число шариков. Играют двое и ходят по очереди. За один ход можно положить в любые 10 корзинок по одному шарику. Побеждает тот игрок, после хода которого в одной из корзинок окажется 21 шарик. Спрашивается, кто выиграет при правильной игре и как он должен играть чтобы выиграть?
Корзины

6 комментариев:

  1. Вроде как второй выиграет.
    Он всегда должен после хода первого дополнять все остальные корзинки до равного количества мячиков.
    То есть если первые кладет n, то второй (11-n) в не занятые корзинки.

    Тогда через несколько шагов придем к ситуации:
    Во всех корзинках по 19 шариков и ход первого игрока. Он кладет снова n шариков, тем самым создавая n "выигрышных" урн. Второй просто дополняет любое количество из них до 21 шара.

    Как то так?

    ОтветитьУдалить
  2. Небольшое уточнение - за один ход можно положить в урну не любое количество шариков от 1 до 10, а именно 10 шариков. То есть второй не сможет после хода первого дополнять корзинки до равного количества.

    ОтветитьУдалить
  3. Минимальное необходимое условие для выигрыша - в одной из корзинок 11 шариков. Следовательно, "критическое" состояние, когда во всех корзинках по 10 шариков. По 10 шариков все корзинки заполняются за 11 ходов, т.е. 12-ый ход является проигрышным, а это ход второго игрока.
    Таким образом, выигрывает первый игрок, если будет последовательно пополнять корзинки до 10 шариков.

    ОтветитьУдалить
  4. Второму игроку нельзя повторять ходы первого, так как он кладёт четные шары и в итоге положит 20-ый шар, после чего первый игрок победит. Поэтому второму игроку нужно сокращать количество "лидирующих" корзинок, то есть на первом своём ходу ложить в пустую корзинку, потом в две корзинки, где меньше шаров и т.д. Первому игроку наоборот нужно продолжать класть в те корзины, где на данный момент больше шаров, а оставшиеся шары класть в остальные корзины.
    Получаем примерно такую игру

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1

    3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1
    4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 2

    5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 2
    6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 3

    7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 3
    8 8 8 8 8 8 7 7 7 7 4

    9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 4
    10 10 10 10 10 9 9 9 9 9 5

    11 11 11 11 11 10 10 10 10 10 5
    12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 6

    13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 6
    14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 7

    15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 7
    16 16 15 15 15 15 15 15 15 15 8

    17 17 16 16 16 16 16 16 16 16 8
    18 17 17 17 17 17 17 17 17 17 9

    19 18 18 18 18 18 18 18 18 18 9
    19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 10

    На следующем ходу первый однозначно кладет 20-ый шар как минимум в 9 ячеек, и потом второй игрок выигрывает!

    ОтветитьУдалить