понедельник, 6 декабря 2010 г.

Мастер спорта

Шахматный турнир
По итогам шахматного турнира, в котором участвовало 12 человек, лучшим участникам присуждали звания мастеров спорта. Это почетное звание присваивалось тем участникам, которые набирали более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Схема игр круговая: каждый участник играл с каждым по одному разу, за выигрыш давалось 1 очко, за ничью 0,5 очка, за поражение - 0 очков. Какое максимальное число участников могло стать мастерами спорта?

Еще две задачи про шахматные турниры: раз и два.

5 комментариев:

  1. Каждый участник сыграл 11 партий. Следовательно, выиграв все партии, участник набирает 11 очков. Звание мастера спорта получали, набравшие >7.7 очка, т.е. 8 очков.
    Всего было сыграно 66 партий (количество сочетаний по 2 из 12: 12!/(10!*2!)). В каждой партии два участника в сумме набирали 1 очко (либо один выигрывал, либо ничья). Таким образом, за турнир участники в сумме набрали 66 очков.
    66/8=8.25, т.е. максимум 8 участников могли набрать 8 очков.

    ОтветитьУдалить
  2. Восемь мастеров вместе набрали 8*8=64 очка. Соответственно, на долю четырех остальных участников, которые сыграли между собой 6 партий, приходится 66-64=2 очка. Это неверно, так как должно оставаться не меньше 6 очков.

    ОтветитьУдалить
  3. Итак: всего партий 66, набранных очков в сумме 66, чтобы стать мастером спорта, необходимо набрать 8 очков.
    Очевидно, что искомое максимальное число мастеров не может составлять 12,11,10,9 - так как на всех не хватит по 8 баллов :-) 8 мастеров также не может быть по причине, объясненной выше.
    Проверяем число 7. Чтобы доказать, что 7 - искомое, надо найти пример, в котором 7 участников набрали по 8 баллов. Это возможно, например так: возьмем 5 участников, неважно, как они сыграли между собой, заработав итого в сумме 10 очков, но остальным семерым все проиграли. Теперь оставшиеся семеро (у каждого из них уже есть 5 очков) Если все они сыграют между собою в ничью - каждый играет 6 игр - то в итоге каждому добавится по 3 недостающих очка. Вуаля, все как в аптеке. :-)

    ОтветитьУдалить
  4. Ура! Подписку на почту сделали! Спасибо!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить