четверг, 1 ноября 2012 г.

А -> B

Несложная бильярдная задача. Шаром А требуется попасть по шару В. Но есть несколько ограничений. Шар А может коснуться не более двух бортов. Красным цветом показано препятствие, которое шар А не должен коснуться до соударения с В. Как нужно ударить по шару А, чтобы попасть им в В и не нарушить условий? Шары считаем материальными точками и при ударе о борт угол падения равен углу отражения.
Бильярдный стол
update
Первый полный ответ дал Медалист.
Ответ
Вначале строим А1 и В1 - зеркальные относительно бортов отражения точек А и В. Далее проводим отрезок А1В1. Точка С и будет точкой, в которую нужно целиться. D - точка на левом борту, в которую попадет шар А после соударения с нижним бортом.
Как вычислить цель на бильярде

Ещё одна бильярдная задача.

12 комментариев:

  1. Послать его в верхнюю стенку (чуть влево), потом он отразится и долетит до нижней, дальше отразится и долетит до B.
    (Решать легче обратным путём - от B прочертить отрезок через нижний край красной линии и отражениями посмотреть, куда попадёт - как раз в А)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А, ещё можно от нижней и левой граней. Но с нахождением точного направления затрудняюсь )

      Удалить
    2. Кажется, Перельман, а может, Болховитинов (который бывший редактор "Науки и жизни") предлагал простой способ решения таких задач: через одну из граней стола рисуем его зеркальную копию, потом повторяем с "удвоенным" слоном - и еще раз, и еще, если надо... И дальше остается прочертить прямую линию от одного из образов точки A до какого-то образа точки B, удовлетворяя условиям.

      Оба ответа (по-моему) хороши, но второй вариант лучше подходит, как более чистый.

      А вообще, похоже, есть и третье, экстравагантное решение с посылом шара в нижнюю грань под очень резким углом. Тогда шар проскочит над верхней частью красной линии и окажется точно в точке B. Легко проверить, что годится, если начинать из B.

      Удалить
  2. Задача как раз и состоит в определении с помощью геометрических построений точки на борту, в которую нужно целиться. Если искать траекторию от В через нижний край красной линии, то в А никак не попадаем - траектория уходит далеко вправо от А.

    ОтветитьУдалить
  3. http://s019.radikal.ru/i620/1211/d5/85df66502c56.jpg
    У меня получилось как-то так. Чтобы углы у нас совпали нужно достроить траекторию шаров от бортов и разделить это расстояние на 3 равные части. В моем случае угол отскока примерно равен 40°

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Не очень понятно как строится сама траектория, как она вычисляется? А если она уже есть, то зачем потом расстояние делить на три части?

      Удалить
  4. Нужно построить ромб. Стороны ромба и будут траекторией. Две соседние точки ромба, лежат на левой и нижней стороне соответственно. Вершина ромба на нижней стороне первое соударение, вершина ромба на левой стороне второе соударение. Диагонали ромба - перпендикуляры восстановленные в точки соударения. Точки А и B лежат на сторонах ромба.

    ОтветитьУдалить
  5. Спасибо Dendr за подсказку с зеркальными отражениями и за третий вариант )
    http://s49.radikal.ru/i123/1211/a2/98d89176abab.jpg
    http://s018.radikal.ru/i521/1211/03/988f3f183fdb.jpg
    http://s019.radikal.ru/i601/1211/04/f37024d7fc7f.jpg

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ещё легче в 1 и 3 варианте делать отражения от главной картинки вверх и вних, и из одной в другую проводить прямую, тогда на нашей (средней) будет средний отрезок, останется просто соединить его концы с А и B.
      Во 2 варианте аналогично влево от основного и вниз от основного. Переделывать неохота )

      Удалить
    2. похоже у вас правильно) только теоретическую базу всего этого я не пойму... что дает зеркальное отражение? пересечение каких то проекций в отражениях, а потом обратное проецирование на изначальную плоскость или как?
      Когда решения с построениями публиковали было более понятно - этот угол равен тому из за подобия, здесь треугольники равны поэтому отрезки будут равны и точка будет здесь и т.д.

      Удалить
    3. Зеркальное отражение получается построением относительно прямой равноудалённых точек. Легко доказывается, что получаются равные расстояния и углы.

      Удалить