пятница, 29 марта 2013 г.

В каком месте построить ещё один мост?

Хорошее продолжение задачи о строительстве моста. Есть два дома: A и B. Между ними протекает река, через которую нужно построить мост. Мост должен быть перпендикулярен берегам реки. Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное. Требуется выбрать для моста такое место, чтобы расстояние от каждого из домов до ближайшего к нему въезда на мост было одинаковым.
Мост
update
Первым правильно ответил TheTriomo.
Ответ
Находим точку C. Далее строим серединный перпендикуляр к AC, который будет пересекать левый берег в точке D. Искомым мостом будет DE. Легко проверить, что AD=BE.
Геометрия

9 комментариев:

  1. Если я правильно понял задачу, можно решить линейкой и уголком вот так: https://lh3.googleusercontent.com/-S-_Q54HC3Dc/UVVZaJitUMI/AAAAAAAAHrc/xKKJYtALSrI/s0/temp.png

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мост - красная линия.
      Расстояния от А до моста: sqrt(a^2 + (b+x)^2)
      Расстояние от В до моста: sqrt(b^2 + (a+x)^2)
      Разные значения получаются.

      Удалить
  2. Перебрасываем один дом симметрично на другую сторону. Ищем точку пересечения срединного перпендикуляра и берега реки...
    Задача может иметь одно, ни одного или дофига решений. Очевидно в каких случаях.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. имхо, бесконечно числа решений не будет, т.к. по условию задачи
      > Расстояния от домов до ближайших к ним берегов разное.
      Так что ни одного, если дома расположены на прямой, перпендикулярной реке, и одно в других случаях

      Удалить
    2. Да, способ подходит.

      Удалить
  3. Как-то так вроде получается:
    Пусть мост - CD.
    1. Умозрительно "вырезаем" реку, то есть "соединяем" точки С и D - и объединяем их в одну - O. Но где точка O - неизвестно пока, кроме того, что на берегу реки.
    2. По построению AC=AO, BD=BO. По условию AC=BD. Значит, AO=BO, то есть надо построить окружность, которая проходит через обе точки A, B, а центр лежит на данной прямой - "реке нулевой ширины".

    То есть построение следующее:
    1. Строим из точки B перпендикуляр к реке, откладываем ширину реки на нем, получаем точку B'
    2. Строим отрезок AB' - это хорда окружности.
    3. Строим серединный перпендикуляр к AB'. Центр окружности лежит на нем.
    4. Искомая точка O - это точка, в которой перпендикуляр пересекает левый (от нас) берег реки. Она же C. Точка D находится на противоположном берегу реки.

    http://smotr.im/dYox

    Легко проверить, что отрезки действительно равны - как измерением, так и по построению.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Всё верно. Способ похож на предложенный TheTriomo, только здесь серединный перпендикуляр пересекает другой берег.

      Удалить
  4. в ответе на первую задачу
    провести серединный перпендикуляр к АС,
    точка пересечения с берегом, где точка D, принадлежит мосту

    ОтветитьУдалить