среда, 13 марта 2013 г.

Две монеты

Две серебряные монеты
На столе лежат две серебряные монеты одинаковой толщины. В столе имеется отверстие. Диаметр первой монеты точно совпадает с диаметром отверстия. Вторая монета меньше первой. И если её подталкивать к отверстию, то она начинает крениться в тот самый момент, когда её край достигает центра отверстия. Первая монета весит 10 грамм. Сколько весит вторая монета?
update
Первым был Andrew Antonets.
Ответ
5 грамм.
На рисунке показан момент, когда край монеты (точка С) совпадает с центром отверстия. В это время монета начинает крениться над отверстием. Видно, что диаметр AD монеты совпадает с хордой отверстия, а точка B - центр монеты. Пусть длина радиуса монеты AB=BC=1. Тогда легко вычислить, что радиус отверстия AC=CD равен квадратному корню из 2. Так как толщина монет одинакова, то их веса будут пропорциональны площадям, которые в свою очередь пропорциональны квадратам их радиусов. Получается, что большая монета тяжелее меньшей в (sqrt(2))^2 раз, то есть в 2 раза. Следовательно, вес меньшей монеты равен 10/2 = 5 грамм.
Ответ к задаче про монету

И ещё немного геометрии:
Найдите площадь фигуры.
Найдите объём Солнца.

6 комментариев:

  1. если монета начинает крениться, значит линия, соединяющая точки опоры монеты, в этот момент проходит через центр масс - центр монеты. Таким образом, хорда окружности отверстия AB (проведенная через точки опоры монеты A и B) совпадает с диаметром монеты (центр монеты обозначим Q), а край монеты в этот момент, как мы знаем, совпал с центром окружности отверстия - O.
    Треугольник OAQ - прямоугольный (треугольники OAQ и OBQ равны по трем сторонам), с катетами длины r - радиус меньшей монеты - и гипотенузой R - радиус большей монеты. Получаем, что R^2= 2r^2 => r ^2 = (1/2)R^2. Т.к. масса монеты пропорциональна квадрату радиуса, и толщина монет одинакова, то меньшая монета весит в два раза меньше, то есть 5 грамм

    ОтветитьУдалить
  2. хорда окружности отверстия
    AB (проведенная через точки
    опоры монеты A и B)
    совпадает с диаметром монеты
    с чего такое утверждение?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. она проходит через центр масс монеты, т.е. через центр окружности монеты. а отрезок, соединяющий две точки на окружности монеты и проходящий через центр - диаметр

      Удалить