четверг, 28 марта 2013 г.

Красный и зелёный

Светофор с двумя сигналами
На участке дороги расположены один за другим два одинаковых светофора. У светофоров по два сигнала: красный и зелёный. Промежуток времени, когда горит зелёный свет, составляет 2/3 всего времени работы светофора. Если автомобилист, двигаясь с обычной скоростью, проезжает на зелёный свет первый светофор, то в трёх случаях из четырёх и у второго светофора горит разрешающий сигнал. Какова вероятность того, что на втором светофоре будет гореть красный сигнал, если автомобилист проедет на красный первый светофор?

update
Первый - TheTriomo.
Ответ
1/2.
Всего возможно четыре комбинации сигналов светофоров:
* оба зелёные (вероятность p1);
* первый - зелёный, второй - красный (вероятность p2);
* первый - красный, второй - зелёный (вероятность p3);
* оба красные (вероятность p4);
Так как каждый из светофоров даёт зелёный свет 2/3 вермени, то
p1 + p2 = 2/3
p1 + p3 = 2/3
Если первый светофор горит зелёным, то вероятность того, что и второй загорится зелёным (когда к нему подъедет автомобилист), равна 3/4:
p1/(p1 + p2) = 3/4
И четвёртое уравнения для системы:
p1 + p2 + p3 + p4 = 1
Решая получившуюся систему из четырёх уравнений, получаем:
p1 = 1/2
p2 = p3 = p4 = 1/6
Искомая нами вероятность рассчитывается следующим образом:
p4/(p3 + p4) = 1/2

Какую схему турнира выбрать рыцарю?

4 комментария:

  1. Ответы
    1. Решал с помощью цветных ручек.
      График примерно такой
      https://dl.dropbox.com/u/46024500/blogs/trafficlights.jpg

      Зеленый интервал светофора 1 проецируется на четверть-красный-три-четверти-зеленый интервал светофора 2. Соответственно красный интервал первого проецируется на полукрасный-полузеленый интервал второго.
      З.Ы. Возможен еще один вариант графика, но это рояля не играет, результат тот же.

      Удалить
    2. Хорошее наглядное решение.

      Удалить