пятница, 5 сентября 2014 г.

Игра в камни

Игра в камни
Двое играют в камешки. Цель - бросить свой камень так, чтобы он упал как можно ближе к зафиксированной точке. Но у первого игрока есть два камня, у второго - один. То есть у первого на одну попытку больше. Уровень мастерства у игроков одинаковый. Получаются следующие варианты исхода игры. (1) Два камня первого игрока оказываются ближе к цели, чем камни второго. (2) Первый камень ближе к цели, второй камень - дальше. (3) Первый камень дальше от цели, второй - ближе. (4) Оба камня первого игрока дальше от цели, чем камни второго. В итоге в трёх случаях из четырёх выигрывает первый игрок, то есть вероятность его победы в игре равна 3/4. Верно ли это?

update
Первый - Илья.
Ответ
На самом деле вероятность победы первого игрока равна 2/3.
В первом варианте исхода игры, когда два камня первого игрока ближе к цели, чем камни второго, скрыто два варианта. Ведь каждый из двух камней может быть ближе к цели. Аналогичная ситуация с четвёртым вариантом. Каждый из камней первого игрока может быть дальше от цели. Таким образом следует рассматривать шесть вариантов исхода игры, в четырёх из которых выигрывает первый игрок. То есть вероятность его выигрыша равна 4/6 или 2/3.

5 комментариев:

  1. Когда оба камня первого оказываются ближе к цели, чем камень второго, тоже нужно рассматривать два варианта, какой из камней первого ближе к цели, первый или второй. Аналогично ситуации, когда камень второго между камнями первого, там два варианта рассматривается.

    Но я не уверен, что все эти варианты (которых теперь 6) равновероятны :)

    Хотя мне тут подсказали простое рассуждение, которого говорит о том, что вероятность выиграть второму игроку равна 1/3.

    Предположим, что игроков на самом деле трое, и каждый делает по одному броску. Тогда у них равные вероятности выигрыша, соответственно равные 1/3. QED.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Точнее, эти же рассуждения про трех игроков помогают понять, что три ситуации (если 2 и 3 из условия объединить в одну) равновероятны.

      Удалить
    2. Действительно, пропущены ещё два варианта и итоговая вероятность победы первого будет равна 2/3.

      Удалить
  2. тут дело в неверном описании исходов, на мой взгляд, их всего три-
    камень 1а ближе 2, камень 1б ближе 2 и, наконец, камень 2 ближе всех.
    вот и получается вероятность выигрыша у первого две трети.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ну да.
      Во втором и третьем разные ходы первого почему-то разделяются, а в первом и четвертом нет. Надо и там и тут одинаково подходить, и будет для первого либо 2 из 3, либо 4 из 6.

      Удалить