Доказательство от противного. Допустим, что таких точек нет. Рассмотрим вершины правильно треугольника ABC со стороной 1 см. Исходя из нашего предположения они должны быть разных цветов. Далее на стороне BC построим ещё один правильный треугольник и получим вершину D. Полученная точка D должна быть одного цвета с A, иначе наше начальное предположение неверно и две точки на расстоянии 1 см были бы найдены (B и D или C и D). Аналогичные рассуждения можно провести для всего множества правильных треугольников с одной из вершин в точке A. Полученное при этом множество точек аналогичных D будет лежать на окружности и иметь цвет одинаковый с А. Но на этой окружности всегда можно найти две точки, расстояние между которыми равно 1 см. То есть наше изначальное предположение неверно и искомые точки существуют.
Предположим, что таких пар точек нет.
ОтветитьУдалитьТогда вершины любого равностороннего треугольника со стороной 1 разноцветные.
Рассмотрим ромб, составленный из двух таких треугольников. Дальние две его вершины (на расстоянии sqrt(3) друг от друга) обязательно одного цвета. Вывод: любые две точки на расстоянии sqrt(3) друг от друга одного цвета.
Дальше просто: строим треугольник со сторонами 1, sqrt(3), sqrt(3). Все его вершины должны быть одного цвета, в том числе и те, что на расстоянии 1 друг от друга.
Хороший вариант доказательства.
УдалитьНемного иначе доказал:
ОтветитьУдалить1. Рассмотрим произвольную точку O плоскости. Допустим, что она красная. (если это не так, "переназовем" цвета)
2. Проведем окружность радиуса 1 с центром в O. Если на окружности есть хотя бы одна красная точка, утверждение доказано. Допустим, что она состоит только из зеленых и синих.
3. Проведем произвольную хорду AB, при условии, что она имеет единичную длину. Каждый из ее концов A и B, по (2), либо зеленый, либо синий. Если концы одинакового цвета, утверждение доказано. Допустим, они разные (тогда мы имеем равносторонний треугольник OAB с разноцветными вершинами и единичной стороной).
4. Построим равносторонний треугольник ABC (C!=O). Если C зеленая или синяя, утверждение доказано. Допустим, она красная.
5. Мы получили две одноцветных (красных) точки O и C, расстояние между которыми фиксировано. ГМТ точек типа C, при фиксированной O - окружность радиуса большего, чем 1 (его даже не надо считать, что интересно).
6. Либо на этой окружности нашлись точки цвета, отличного от красного - тогда утверждение доказано досрочно, в п. 4, либо она сплошь состоит из красных точек. Тогда любая хорда длиной 1 (а таковая обязательно найдется) доказывает утверждение.
У меня такой же ваиант.
Удалить