четверг, 11 сентября 2014 г.

Три цвета

Продолжение темы разноцветных точек на плоскости. Задача посложнее. На этот раз дана плоскость, каждая точка которой может быть зелёной, красной или синей. Требуется доказать, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми будет равно 1 см.
update
Первый - Илья.
Ответ
Доказательство от противного. Допустим, что таких точек нет. Рассмотрим вершины правильно треугольника ABC со стороной 1 см. Исходя из нашего предположения они должны быть разных цветов. Далее на стороне BC построим ещё один правильный треугольник и получим вершину D. Полученная точка D должна быть одного цвета с A, иначе наше начальное предположение неверно и две точки на расстоянии 1 см были бы найдены (B и D или C и D). Аналогичные рассуждения можно провести для всего множества правильных треугольников с одной из вершин в точке A. Полученное при этом множество точек аналогичных D будет лежать на окружности и иметь цвет одинаковый с А. Но на этой окружности всегда можно найти две точки, расстояние между которыми равно 1 см. То есть наше изначальное предположение неверно и искомые точки существуют.

4 комментария:

  1. Предположим, что таких пар точек нет.
    Тогда вершины любого равностороннего треугольника со стороной 1 разноцветные.

    Рассмотрим ромб, составленный из двух таких треугольников. Дальние две его вершины (на расстоянии sqrt(3) друг от друга) обязательно одного цвета. Вывод: любые две точки на расстоянии sqrt(3) друг от друга одного цвета.

    Дальше просто: строим треугольник со сторонами 1, sqrt(3), sqrt(3). Все его вершины должны быть одного цвета, в том числе и те, что на расстоянии 1 друг от друга.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хороший вариант доказательства.

      Удалить
  2. Немного иначе доказал:
    1. Рассмотрим произвольную точку O плоскости. Допустим, что она красная. (если это не так, "переназовем" цвета)
    2. Проведем окружность радиуса 1 с центром в O. Если на окружности есть хотя бы одна красная точка, утверждение доказано. Допустим, что она состоит только из зеленых и синих.
    3. Проведем произвольную хорду AB, при условии, что она имеет единичную длину. Каждый из ее концов A и B, по (2), либо зеленый, либо синий. Если концы одинакового цвета, утверждение доказано. Допустим, они разные (тогда мы имеем равносторонний треугольник OAB с разноцветными вершинами и единичной стороной).
    4. Построим равносторонний треугольник ABC (C!=O). Если C зеленая или синяя, утверждение доказано. Допустим, она красная.
    5. Мы получили две одноцветных (красных) точки O и C, расстояние между которыми фиксировано. ГМТ точек типа C, при фиксированной O - окружность радиуса большего, чем 1 (его даже не надо считать, что интересно).
    6. Либо на этой окружности нашлись точки цвета, отличного от красного - тогда утверждение доказано досрочно, в п. 4, либо она сплошь состоит из красных точек. Тогда любая хорда длиной 1 (а таковая обязательно найдется) доказывает утверждение.

    ОтветитьУдалить