пятница, 4 марта 2011 г.

Звезда из монет

Десять одинаковых по внешнему виду монет расположены в узлах пятиконечной звезды. Соседними будем называть монеты, которые соединены отрезком. Известно, что две соседние монеты являются фальшивыми. Также известно, что все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые монеты весят одинаково и вес фальшивой монеты больше веса настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить местоположение фальшивых монет?

22 комментария:

  1. 1
    2345
    67
    8
    9 10-это звезда :-)
    Делим линией на 5 вверху и 5 внизу (1,2,3,4,5-6,7,8,9,10)
    Взвешиваем. Поворачиваем звезду по кругу. Делим также, взвешиваем. Повторяем операцию. У нас 3 взвешивания. Теперь сравниваем результаты, учитывая, что если весы в равновесии, то в каждой части по одной фальшивой, а если нет, то где тяжелее, там 2 фальшивых. Отталкиваясь от этого найти фальшивые нетрудно, подумав логически, но писать как это сделать долго.

    ОтветитьУдалить
  2. Правильно я понял, что при развороте звезды верхней становится соседняя вершина? Например, поворачиваем по часовой стрелке. Сначала сверху была монета №1, потом №2, потом №9?

    ОтветитьУдалить
  3. Да, это так. Методом исключения вычисляем местотоположение монет.

    ОтветитьУдалить
  4. Что-то у меня не получается. Например, на левую чашу весов каждый раз будет класть верхнюю часть звезды, на правую чашу - нижнюю часть звезды. Допустим, на первом взвешивании левая чаша перевесила, на втором - весы в равновесии, на третьем - перевесила правая чаша. Для каждого взвешивания получаются такие варианты возможных фальшивых монет:
    1) 1-3 или 1-4 или 2-3 или 3-4 или 4-5;
    2) 1-4 или 2-3 или 6-8 или 9-8;
    3) 1-3 или 1-4 или 2-3 или 4-5 или 4-7 или 5-7;
    Видно, что во всех случаях есть две пары: 1-4 и 2-3 и определить какая из них фальшивая не получится.

    ОтветитьУдалить
  5. Тут надо немного включать логику. Впрочем, я могу ошибаться, но по моей теории не надо поворачивать в одном направлении. Допустим, что вращаем сразу по часовой стрелке, тогда из 1 и 2 фальшивыми могут быть только изначальные 1,3 и 4. Взвешиваем из вершины 2, если в равновесии, то 1 и 4 фальшивые, а если левая перевесила, то 1 и 3. Извиняюсь если где то ошибся, в уме сложно ориентироваться.

    ОтветитьУдалить
  6. Из 1 и 2 всмысле
    "на первом взвешивании левая чаша перевесила, на втором - весы в равновесии"

    ОтветитьУдалить
  7. Извиняюсь, ошибся. В первом случае из вершины 1, во втором из 5. остальное то же самое.

    ОтветитьУдалить
  8. Но ведь если во втором взвешивании весы в равновесии, то фальшивыми могут быть не только 1-4, но и 2-3.

    ОтветитьУдалить
  9. Нужно пронумеровать монеты как у Александра, и взвешивать 1;2;3;4;5 | 6;7;8;9;10. Возможны варианты: = < > . При равенстве 6 или 7 точно фальшивая, поэтому сравним их и у фальшивой возможную ее пару (фальш. 6 тогда 2 и 3, у 7 - 4 и 5).
    1 - 5 < 6 - 10: взвеш. 6 и 7. При неравенстве по аналогии возможную ее пару. При равенстве, 8 и 9, и по анализу ситуаций определим.
    1 - 5 > 6 - 10: взвеш. 3 и 6, затем 1 и 4, и так же по анализу ситуаций определим фальш. монеты.

    ОтветитьУдалить
  10. possward, 2-3 не могут, т к 2,3,6,8,9=1,4,5,7,10 из 1 и 2

    ОтветитьУдалить
  11. Решение проработал, делим 2 раза рядом (в ближних вершинах), и у нас остаются только 3 спорных монеты (проверь:-)), из которых легко выбрать фальшивые.

    ОтветитьУдалить
  12. Т. е. из 3 монет надо выбрать 2 одним взвешиванием(1,3,4). Разве сложно?

    ОтветитьУдалить
  13. А что, мое решение не запостилось?

    Первое взвешивание в нем было (в описанных выше обозначениях Александра) как 2-6-9 против 5-7-10.
    Дальше остаются "фальшивые отрезки", являющиеся сторонами двух треугольников с общей вершиной.
    Второе взвешивание позволяет выбрать один из этих
    двух треугольников, а третье - нужную из его сторон.

    ОтветитьУдалить
  14. Решение, которое было в начале, не подходит. Правильное решение написал Валерий, только там в варианте 1 - 5 > 6 - 10 ошибочка, нужно взвешивать не 3 и 6, а 3 и 4.

    ОтветитьУдалить
  15. При взвешивании 3 и 4 получается проще.

    При взвешивании 3 и 6: в случае равенства найти две из трех (1; 4; 5) не сложно, взвесив 1 и 4.
    При неравенстве (3 фальш) так же взвесим 1 и 4.

    ОтветитьУдалить
  16. Не, ну я могу поспорить. Последний коммент:
    Делим 2 раза рядом (в ближних вершинах, с поворотом), и у нас остаются только 3 спорных монеты , из которых легко выбрать фальшивые.
    Т. е. по моему решению после двух взвешиваний остается выбрать 2 из 3. Кстати, это можно сделать и взвешиванием 5-5, и отделением этих 3-х монет и взвешиванием 2-х из них. Так почему мое решение неправилиное?

    ОтветитьУдалить
  17. 3 монеты после 2-х моих взвешиваний остаются в любом случае, так что с комментами на эту тему только если найдете пример где это не работает. Но если я оспорю...

    ОтветитьУдалить
  18. Последний вариант с двумя взвешиваниями 5-5 и третьим взвешиванием двух из трех монет тоже правильный.

    ОтветитьУдалить
  19. Самый первый коммент решением не является, это "толчек" к решению.

    ОтветитьУдалить
  20. Вы бы лучше дали задачу про 9-угольную звезду.

    ОтветитьУдалить